Formulario para producto interior, ejemplo

La fórmula dada es terriblemente poco esclarecedora porque no parece utilizar el hecho fundamental sobre las formas diferenciales de que se alternan y, por lo tanto, agrega$r$términos iguales, tampoco proporciona la conexión a la notación de índice que supuestamente intenta.

Entendamos primero la idea del producto interior. Un$r$-forma es algo con$r$ranuras para vectores que es lineal en cada ranura y cambia de signo si intercambia dos ranuras. Si pones un campo vectorial$X$en la primera ranura, estas propiedades siguen siendo válidas para el$r-1$espacios que quedan; esto es$i_X \omega$. Esta es una definición libre de coordenadas, así que veamos cómo podemos obtener la fórmula de Nakahara.

Para cálculos, dada cualquier base de formas únicas$dx^\mu$, un$r$-forma$\omega$tiene la expansión

$$\omega = \sum \omega_{\mu_1 \ldots \mu_r} dx^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes dx^{\mu_r} \tag{1}$$ donde el $\omega_{\mu_1 \ldots \mu_r}$son completamente antisimétricos. Claramente, el producto interior es solo una contracción en el primer índice .

Desde$dx^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes dx^{\mu_r}$está relacionado con$dx^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_r}$por una antisimetrización y una normalización,

$$\omega = \frac{1}{r!} \sum \omega_{\mu_1 \ldots \mu_r} dx^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_r}$$ donde el $r!$cuentas para la normalización. Dado que los formularios generalmente se construyen con productos de cuña, así es como encontraría los componentes de un formulario. Ahora, usando (1) y el producto interior como contracción en el primer índice, $$\begin{align}i_X \omega & = \sum X^{\alpha}\omega_{\alpha \mu_1 \ldots \mu_{r-1}} dx^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes dx^{\mu_{r-1}} \\ & = \frac{1}{(r-1)!} \sum X^\alpha \omega_{\alpha\mu_1 \ldots \mu_{r-1}} dx^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_{r-1}}. \end{align}$$

Pero desde$\omega$está alternando, podríamos contraernos sobre todos los$r$índices y obtenemos lo mismo, siempre que sigamos el rastro del signo, dando una suma con$r$términos iguales. Compensando por eso tenemos$r$términos iguales, obtenemos

$$i_X \omega = \frac{1}{r(r-1)!} \sum_s X^{\mu_s} \omega_{\mu_{1} \ldots \mu_{s} \ldots \mu_{r}}(-1)^{s-1}dx^{\mu_{1}} \wedge \cdots \wedge \widehat{dx^{\mu_s}} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_{r}}.$$ La omisión de la $s$El factor en el producto de la cuña es la contracción sobre el $s$:th índice. El $(-1)^{s-1}$viene de que mover el $s$:th factor al frente da $s-1$signos menos, uno para cada factor que tiene que pasar.

Ahora para el ejemplo de$i_{e^x} (dx\wedge dy)$. Tenemos

$$dx\wedge dy = \frac{1}{2} \big( \omega_{12} dx\wedge dy + \omega_{21} dy \wedge dy \big) = \frac{2}{2} \omega_{12} dx\wedge dy$$ (usando antisimetría) tan obviamente $\omega_{12} = 1$. los componentes de $e^x$son $(1, 0, \ldots, 0)$, por lo que al contraer el primer índice obtenemos $dy$.