Estoy estudiando teoría de grafos por cuenta propia, principalmente del excelente libro 'Modern Graph Theory' de Bela Bellobas, pero también de varias notas de conferencias en línea. Mi dificultad es que no entiendo lo que significa 'dibujar un gráfico en una superficie'. Por ejemplo, en el libro de Bellobas se refiere al teorema de Heawood de 1890, que
El número cromático de un gráfico G dibujado en una superficie cerrada de característica de Euler es como máximo
Pero, cuando hablamos de 'dibujar un gráfico sobre una superficie', ¿qué significa la distribución de puntos? Puedo imaginar dibujar un gráfico en un toro, y si lo dibujo lo suficientemente pequeño en comparación con la curvatura del toro, entonces seguramente propiedades como la planaridad no cambiarán, porque el gráfico está efectivamente en una superficie plana.
Así que estoy bastante seguro de que hay un significado en términos de distribución de puntos, y probablemente lo que significa ser una 'cara' en esta superficie.
Al igual que un gráfico plano : un gráfico que se puede incrustar en el plano de modo que sus vértices sean puntos del plano y los bordes se puedan "realizar" como copias homeomórficas reales de (curvas simples) que solo se cruzan en los vértices pero en ningún otro lugar. Así como dibujas gráficos planos. Ahora reemplace el plano por una superficie y tendrá su definición. No dice nada sobre la distribución de los puntos (o tamaño, etc.), pero que podemos incrustar topológicamente el gráfico (visto como un símplex unidimensional) en la superficie. Para superficies agradables (diferenciales o topológicas) -variedades, en realidad) todavía tenemos algo análogo al teorema de la curva de Jordan, en el sentido de que un gráfico-ciclo limita un "interior" único, al igual que en el plano, por lo que la noción de una "cara" tiene sentido para tal incrustación
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