En este enlace de Wikipedia encontré la siguiente declaración:
En matemáticas, el lema de Sperner es un análogo combinatorio del teorema del punto fijo de Brouwer, que es equivalente a él.
Al principio, encontré esta declaración muy extraña. ¿Cómo pueden ser equivalentes dos teoremas? Por supuesto que podrías decir eso
ya que ambas afirmaciones son, de hecho, verdaderas, pero se podría decir lo mismo de dos teoremas cualesquiera probados como verdaderos, y creo que sería considerado un tonto si dijera que el pequeño teorema de Fermat es equivalente al teorema de Pitágoras.
La cuestión es que tiene sentido hablar de equivalencia de propiedades , y encontré que el teorema del punto fijo de Brouwer está, de hecho, relacionado con una propiedad de los espacios topológicos.
Un espacio topológico se llama dominio de punto fijo si cualquier función continua tiene un punto fijo.
Más tarde me di cuenta de que "equivalente" probablemente solo se refería a tener una demostración de que uno pasa por el otro y viceversa, pero mi confusión motivó una gran curiosidad: ¿Existe alguna propiedad sobre los espacios topológicos que sea equivalente a "ser un dominio de punto fijo"? " y de alguna manera generaliza el lema de Sperner? Sé que " triangulación " es un concepto bien definido en topología, lo que me lleva a creer que la respuesta a mi pregunta podría ser sí.
Una respuesta al caso donde es un subespacio de ya me satisfaría mucho.
¡Muy buena pregunta! Tiene razón, dos afirmaciones verdaderas cualesquiera son equivalentes, pero creo que la afirmación de que el lema de Sperner es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer no debe entenderse en ese nivel.
La prueba "estándar" del teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión arbitraria se basa en la maquinaria de la topología algebraica; implica la construcción de grupos de homología de espacios topológicos (además de probar sus propiedades básicas) y el cálculo de los grupos de homología de esferas.
El lema de Sperner no es (al menos en mi opinión) un análogo combinatorio del teorema del punto fijo de Brouwer, sino un teorema combinatorio que trata con ciertas propiedades de las subdivisiones simpliciales de un símplex estándar.
Usando el lema de Sperner, uno puede probar fácilmente el teorema del punto fijo de Brouwer (ver aquí ), pero no creo que haya una derivación simple del lema de Sperner del teorema del punto fijo de Brouwer. De hecho, la demostración habitual del lema de Sperner es bastante elemental y no tiene nada que ver con la topología. Esto no excluye que haya una buena manera de invocar el teorema del punto fijo de Brouwer, pero parece inadecuado reemplazar argumentos combinatorios elementales por argumentos topológicos sofisticados.
Randall
izq.