Tic-Tac-Toe on the Real Projective Plane es una victoria trivial para el primer jugador en tres movimientos

Considere un 3 × 3 Tablero de tres en raya con lados opuestos identificados en orientación opuesta. Jugamos Tic-Tac-Toe en el Plano Proyectivo Real.

Más precisamente, considere un 3 × 3 Tablero de Tic-Tac-Toe en el cuadrado de la unidad [ 0 , 1 ] 2 . Pegamos el límite del cuadrado de la siguiente manera para crear el Plano Proyectivo Real: ( X , 0 ) ∼ ( 1 − X , 1 ) y ( 0 , y ) ∼ ( 1 , 1 − y ) . De esa manera, hemos creado un 3 × 3 Tablero de Tic-Tac-Toe en el Plano Proyectivo Real. Todavía tenemos 9 celdas, pero tenemos más formas posibles de formar patrones ganadores ya que podemos ir más allá de los lados del tablero plano.

Una forma de visualizar el juego es crear copias del tablero (con rotaciones apropiadas) alrededor de un tablero plano. Así es como se vería la botella de Klein (foto tomada de Mathematics Illuminated):

Tic-Tac-Toe en una botella de Klein

Parece que cualquiera de los tres movimientos es una victoria para el primer jugador en el juego Real Projective Plane. ¿Hay alguna forma inteligente de verlo (excepto comprobar todos los 84 casos) ? ¿Este resultado está relacionado de alguna manera con la topología (o propiedades) del Plano Proyectivo Real?

Hay una acción por traslación horizontal y vertical (con reflexión adecuada cuando una línea pasa por un lado) en el tablero del grupo Z 6 × Z 6 que preserva los patrones ganadores. También podríamos considerar π / 2 rotaciones a través del centro del tablero. Mirando el orden del grupo de simetría, debe haber algunos subconjuntos de tres elementos no equivalentes del tablero. ¿Tal vez hay una forma inteligente de identificar las órbitas?

Esto está relacionado con Demostrar que un juego de Tic-Tac-Toe jugado en el toro nunca puede terminar en empate. (Gráfico de soluciones teóricas solamente.) . Probablemente se pueden usar argumentos similares para mostrar que nuestro juego no puede terminar en tablas, si eso es útil de alguna manera.

Este problema proviene de https://concretenonsense.wordpress.com/2008/04/15/topological-tic-tac-toe-1-the-torus/ y https://concretenonsense.wordpress.com/2008/04/17 /topológico-tic-tac-toe-2-otras-superficies/ .

No estoy muy seguro de lo que quiere decir aquí: ¿está trabajando con dieciocho celdas o identificando cada celda con su reverso? También es posible identificar tres movimientos del primer jugador que no hacen una línea, pero donde el segundo jugador puede hacer una línea. Entonces, ¿estás asumiendo un juego secuencial normal donde el tercer movimiento del primer jugador tiene que hacer una línea (primera prioridad) o bloquear una amenaza (segunda prioridad) antes de considerar otras opciones?
@MarkBennet: creo que significa identificar como en topología, por lo que pensará que la columna más a la derecha está junto a la más a la izquierda, pero al revés (lo mismo para las filas superior e inferior)
@Max Entonces obtienes líneas que tienen seis celdas de largo: ¿una victoria requiere tres celdas adyacentes en una línea o solo tres seguidas? Y hacerlo de esa manera también parece significar que dos celdas pueden estar en más de una línea común.

Respuestas (1)

La afirmación hecha en el blog Concrete Nonsense no es realmente cierta. Los vecindarios de celdas de esquina en el R PAG 2 El tablero de tres en raya es diferente al del centro (las celdas de las esquinas están diagonalmente adyacentes entre sí) y esto impide usar los argumentos de traducción del tablero toroidal. De hecho, encontré 7 casos, hasta la rotación y la reflexión, donde los primeros tres movimientos del primer jugador no conducen a una victoria: Sin embargo, las mismas propiedades peculiares de R PAG 2 permitir que el primer jugador gane en dos movimientos. El primer movimiento es en el centro y el segundo movimiento es en cualquier esquina desocupada.

Supongo que la visualización al agregar tableros es engañosa. Un patrón ganador es uno que se puede convertir en un patrón ganador habitual (línea horizontal/vertical/diagonal) "traduciendo" el tablero a lo largo de los lados pegados. Las X y las O se mueven junto con el tablero. Si solo tiene dos X en su tablero, no hay forma de que pueda traducirlo para que sean tres, aunque la visualización lo haga pensar así. Pero parece que la publicación del blog estaba realmente equivocada.
@Desura No puedes traducir el plano proyectivo real porque ambas direcciones son antiparalelas. Puedes traducir una botella de Klein, un toro, porque las copias se alinean en tiras paralelas. Cambiar el RPP introduciría brechas.
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