En un grafo, conectividad en sentido de grafo y en sentido topológico

De Wikipedia

Los gráficos tienen subconjuntos conectados por caminos, es decir, aquellos subconjuntos para los cuales cada par de puntos tiene un camino de aristas que los une. Pero no siempre es posible encontrar una topología sobre el conjunto de puntos que induzca los mismos conjuntos conexos. El gráfico de 5 ciclos (y cualquier n ciclo con n>3 impares) es uno de esos ejemplos.

Como consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. A saber, hay una categoría de espacios conectivos que consiste en conjuntos con colecciones de subconjuntos conectados que satisfacen los axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que asignan conjuntos conectados a conjuntos conectados (Muscat & Buhagiar 2006). Los espacios topológicos y los grafos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los grafos finitos.

Sin embargo, cada gráfico puede convertirse canónicamente en un espacio topológico, tratando los vértices como puntos y las aristas como copias del intervalo unitario (ver teoría de gráficos topológicos # Gráficos como espacios topológicos). Entonces uno puede mostrar que el grafo es conexo (en el sentido teórico del grafo) si y solo si es conexo como un espacio topológico.

Me preguntaba si las dos oraciones en negrita se contradicen entre sí.

¡Gracias y saludos!

En realidad, no entiendo esa cita, no puedo ver (¡en absoluto!) por qué es importante considerar " norte > 3 impar". ¿Por qué hay una topología en el ciclo 4 con los mismos componentes conectados (solo un componente, verdad?) Pero no en el ciclo 5? ¿Alguien puede aclararlo?
@MatthewDaws: azarel ha respondido a mis preguntas originales. Creo que una mejor manera es hacer nuestras preguntas adicionales en una nueva publicación. ¿Podrías hacer eso, o puedo hacerlo yo alguna vez?
@MatthewDaws: ¡Gracias por hacerlo real y vincularlo aquí! Solo le di un voto positivo por promocionarlo.

Respuestas (2)

No se contradicen entre sí ya que se refieren a cosas completamente diferentes.

Para hacerlo más preciso: Si GRAMO denota el 5 -ciclo gráfico, entonces la primera declaración implica que no hay topología en los vértices de GRAMO que tiene los mismos subespacios conexos.

Por otro lado, en el segundo enunciado estamos identificando la gráfica GRAMO con un pentágono que no es lo mismo que un 5 -espacio de elementos.

¡Gracias! (1) ¿Podría explicar por qué "no hay una topología en los vértices de G que tenga los mismos subespacios conectados"? (2) ¿En qué se diferencian las cosas al identificar la gráfica G con un pentágono? ¿Es el pentágono solo un subconjunto que consta de puntos límite, o un pentágono también incluye el área que encierra el límite?
@Tim: Sí, en el primer caso, consideramos solo los 5 puntos. Supongo que se requiere que la topología tenga algunas propiedades (ya que la topología indiscreta estaría conectada); ciertamente, ser Hausdorff es suficiente para forzar la topología discreta. En el segundo espacio, consideramos que el "pentágono" incluye sus lados; eso es lo que significa la cita original "bordes como copias del intervalo unitario".
@MatthewDaws: ¡Gracias! Entonces, ¿quiere decir que la topología de Hausdorff es una condición necesaria para hacer que los dos tipos de conectividad sean equivalentes? Entonces, ¿cómo explicaremos que no haya una topología en el conjunto de vértices que pueda hacer que los dos conceptos de conexión sean equivalentes?
@Tim: No, quiero decir que si insiste en que una topología en el conjunto de vértices de un gráfico finito es Hausdorff, entonces debe ser la topología discreta. Podría definir una topología diferente diciendo que la colección de conjuntos abiertos era exactamente la ruta conectada a los componentes del gráfico, y luego tendría una topología que conectaba los componentes de acuerdo con la ruta conectada a los componentes. Pero esta topología no sería Hausdorff, ni siquiera "distinguiría topológicamente" los puntos, ¡y por lo tanto sería una topología bastante inútil!
@Tim: vea mi comentario en su publicación original: ¡en realidad estoy bastante confundido acerca de lo que significa la cita de Wikipedia!

En realidad, los 5 ciclos (como puntos) no admiten NINGUNA topología (Hausdorff o no) que proporcione los mismos conjuntos conectados (es decir, los bordes y las rutas). Esto se sigue considerando que cada no borde induce dos conjuntos abiertos. Se puede demostrar que cada conjunto abierto tendrá que ser un conjunto {x} o {y,x,z} donde yxz están conectados, alternando cada tipo. Esto implica a su vez que cualquier ciclo impar no puede tener una topología compatible (excepto 1,3).

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