El punto en común es este: en topología no nos importa dónde están las cosas o qué tan grandes son; nos importa qué está conectado con qué. Un cuadrado y un círculo son topológicamente equivalentes, porque están autoconectados de la misma manera. Puede estirar el cuadrado y suavizar las esquinas y convertirlo en un círculo y la topología no le importa. Pero si desconectas dos de los lados, aunque sea un poquito, de repente es algo diferente.

En las redes informáticas, tampoco nos importa (mucho) dónde están las cosas o cuánto tiempo duran las conexiones. Pero nos importa mucho qué computadoras están conectadas a cuáles. Puedes tomar una computadora en la red y llevarla al otro lado de la habitación y seguirá comunicándose como si nada, porque desde el punto de vista de la red, no ha pasado nada . Pero si estira la mano hacia atrás y tira del cable de red una milésima de pulgada, de repente es una red diferente.

Haciéndose eco del comentario realizado por @Chris Godsill, en este uso, la "topología" de una red es de hecho su "forma". Sin embargo, no estoy de acuerdo con su afirmación de que no existe una conexión clara y relevante con la topología en su sentido matemático formal. Esto se debe a que siempre que los matemáticos hablan de la "topología" de un espacio, en realidad estamos hablando del tipo de forma que tiene .

Por supuesto, el objetivo del campo matemático de la topología es hacer que nuestras diversas nociones intuitivas de "forma" sean precisas. Como ha señalado @MJD, probablemente la propiedad topológica más pertinente de una red es su conectividad (o, para ser más específicos en este caso, la conexión de ruta ), que nos dice qué nodos están conectados a qué otros. Una red en la que cualquier nodo puede comunicarse con cualquier otro, por ejemplo, en una topología en estrella o en anillo ( conectada ), es fundamentalmente diferente de una en la que un nodo solitario está desconectado del resto, o una con dos componentes separados.$A, B$, donde los nodos están restringidos para comunicarse dentro de su propio grupo ( desconectados ).

Podemos llevar esto aún más lejos. Otra propiedad importante de una red es cuán robusta es: ¿qué sucederá si uno de los cables que conectan algunos nodos falla? En una topología en anillo, la comunicación entre cualquier par de nodos sigue siendo posible incluso después de la desconexión de uno de los enlaces, ya que podemos enviar los datos "al revés" de la red. Compare esto con la topología en estrella, donde todos los datos deben pasar a través del concentrador central, por lo que perder cualquiera de los radios significa que el nodo ya no está en comunicación con el resto de la red. Formalizamos esto en la teoría de grafos (que es básicamente casi una rama de la topología de todos modos :P) como la conectividad de borde de la red: la cantidad mínima de bordes que tenemos que eliminar antes de que el espacio se desconecte. La topología en estrella es$1$-conectado al borde, solo tenemos que quitar un borde para desconectarlo, mientras que la topología en anillo es$2$-conectado al borde. La malla completamente conectada que se muestra en la respuesta de john mangual es$(k-1)$-conectado al borde, donde$k$es el número de nodos.

Usted menciona complejos simpliciales : estos proporcionan el vínculo entre la teoría de grafos y la topología que estaba buscando. Cualquier red es, como ya sabes, un grafo. Pero un grafo es simplemente un 1-complejo simplicial , donde los nodos son los 0-simples, y los bordes son los 1-simples. Entonces, cualquiera de los métodos que podemos usar en complejos simpliciales se puede usar en gráficos.

Aquí hay un ejemplo, es un poco largo y no es del todo necesario para la respuesta general, así que siéntase libre de omitir este párrafo. En una nota relacionada (pero menos pragmática) con el párrafo anterior, observe que la topología en anillo es diferente de la topología en estrella en el sentido de que es un "círculo", es decir, tiene una especie de "agujero" que la estrella no tiene. . Por lo tanto, los agujeros también juegan un papel importante en la determinación de la forma de un espacio. Esta idea intuitiva se formaliza en topología algebraica usando el grupo fundamental $\pi_1$, que fija un punto base$x$en un complejo simplicial$\mathscr{K}$y mira todos los bucles en$x$, hasta la homotopía (intuitivamente, dos bucles son homotópicos si podemos deformarnos uno en el otro, permaneciendo todo el tiempo dentro del espacio$\mathscr{K}$). Tenga en cuenta que se permite que un bucle se cruce sobre sí mismo, todo lo que se requiere es que comience y termine en$x$. Digamos que arreglamos el punto base$x$del gráfico estelar en su nodo central. ¿Qué son los bucles? Bueno, si empezamos en$x$y recorremos cualquiera de los radios, sólo podemos volver a$x$volviendo por el mismo radio. Espero que sea intuitivamente obvio que dicho bucle puede deformarse "tirando de él" hacia$x$, por lo que todos los bucles en la estrella son homotópicos al bucle trivial, que comienza en$x$, se queda en$x$y termina en$x$. En cierto sentido, solo hay un "bucle" en la estrella, y de todos modos no es realmente un bucle. En contraste, la red de anillos, además de tener estos estúpidos bucles, también tiene el bucle "adecuado" que da la vuelta al anillo una vez en el sentido de las agujas del reloj. Pero también tiene el lazo que da dos, tres vueltas,...,$n$veces en el sentido de las agujas del reloj donde$n \in \mathbb{Z}$($n < 0$solo significa que damos la vuelta al bucle en sentido contrario a las agujas del reloj). Es posible demostrar que ninguno de estos bucles se deforma en otro mientras permanece en el anillo, por lo que hay$\mathbb{Z}$muchos bucles en el grupo fundamental del anillo. No he explicado cómo definimos la operación de grupo, pero una vez que hacemos esto vemos que$\pi_1$para la estrella es trivial, es decir, el grupo de un solo elemento$\{0\}$, mientras$\pi_1 = \mathbb{Z}$para el anillo En general, el "número de copias de$\mathbb{Z}$" en el grupo fundamental nos dice cuántos "agujeros" (unidimensionales) tiene el complejo simplicical, así que como era de esperar, nuestro resultado nos dice que la estrella no tiene agujeros, mientras que el anillo tiene uno.

tl;dr , considerar los gráficos como complejos simples de 1 nos permite usar la topología algebraica para probar las propiedades de la forma de la red. Entonces sí, las topologías de red, interpretadas de la manera correcta, son espacios topológicos.

Espero que así sea también la teoría de grafos topológicos, todavía no sé mucho al respecto. Otra propiedad topológica importante en la que puedo pensar es la distancia del gráfico y el diámetro de la red, uno probablemente consideraría esto en problemas de eficiencia de enrutamiento de datos. Por ejemplo, la estrella es buena en el sentido de que los datos solo necesitan viajar la longitud de dos enlaces para llegar de un nodo a otro, mientras que el anillo puede tener que transportarlo a través de muchos enlaces si los nodos están "muy separados" en el red. Matemáticamente, el diámetro de la estrella es 2, mientras que el del anillo es$k/2$dónde$k$es el número de nodos.

La topología de red es más o menos lo que llamaríamos teoría de grafos y las nociones de las diferentes áreas se alinean.

Ahora los gráficos heredan una topología e incluso una métrica en el sentido matemático, si quieres ir allí.

red estelar = gráfico estelar

Red de malla completamente conectada = Gráfico completo

Red de anillo = Gráfico de ciclo

Probablemente un poco tarde, pero le pregunté a mi profesor de física sobre la relación entre la topología matemática y la topología de red, o lo que él mencionó como topología, los diferentes diagramas de circuitos básicos. Dijo que los electricistas, los ingenieros de redes y los matemáticos lo ven de manera diferente, pero es el mismo tipo de topología.