Leí los artículos de Wikipedia sobre topología , teoría de grafos (más teoría de grafos topológicos ). ¿ La topología abarca también la teoría de grafos ? ¿O la topología se trata solo de estudiar formas, mientras que la teoría de grafos se trata de relaciones y los dos se encuentran en la teoría de grafos topológicos ?
Hay (al menos) dos formas de responder a esta pregunta. En el sentido estricto de la definición, probablemente puedas obtener toda la teoría de grafos expresada en el lenguaje de la topología. Si eres realmente astuto, probablemente también puedas hacerlo de otra manera, por lo que probablemente podrías pasar un buen rato afirmando que "toda la teoría de grafos es solo parte de la topología", y de la misma manera "toda la topología es solo parte del gráfico". teoría".
Sin embargo, creo que lo más importante es que el sabor de los dos campos suele ser bastante diferente. Con esto quiero decir, si te encuentras con un matemático en estos días que se considera un topólogo, lo más probable es que trabaje en algo geométrico o muy algebraico, y en cualquier caso algo bastante abstracto. Por otro lado, si te encuentras con una matemática que se considera una teórica de grafos, es probable que trabaje en algunos objetos bastante concretos, posiblemente con conexiones directas más obvias con aplicaciones del mundo real.
Las excepciones a ese párrafo son numerosas, pero en cierto modo prueban la regla. Hay muchos topólogos que trabajan con objetos muy concretos y muchos teóricos de grafos cuyo trabajo es muy abstracto o usan herramientas de geometría algebraica, teoría de números, etc.
No obstante, es poco probable que los dos compartan una gran superposición en sus intereses matemáticos, y si lo hacen, probablemente llamaría a su interés compartido teoría de grafos topológicos o topología combinatoria. Entonces, creo que su última declaración es la más cercana a la verdad, aunque diría que la topología es mucho más que estudiar formas, y la teoría de grafos es mucho más que estudiar relaciones (o al menos no parece que esté estudiando relaciones cuando lo estás haciendo ). Los ejemplos son probablemente la mejor manera de demostrarlo, pero entonces esta respuesta será demasiado larga, y es mejor que simplemente lea/haga algo de cada uno para tener una idea de lo que se trata cada campo.
Alguien llamó a la teoría de grafos "los barrios marginales de la topología" o algo así, pero no me lo tomaría demasiado en serio.
Los grafos son espacios topológicos unidimensionales de una especie. Cuando hablamos de grafos conexos o grafos homeomorfos, los adjetivos tienen el mismo significado que en topología. Entonces, la teoría de grafos puede considerarse como un subconjunto de la topología de, digamos, complejos simpliciales unidimensionales. Si bien la teoría de grafos utiliza principalmente sus propios métodos peculiares, las herramientas topológicas como la teoría de la homología son ocasionalmente útiles.
Un gráfico conexo tiene una función de distancia natural, por lo que puede verse como una especie de espacio métrico discreto. Entonces, la teoría de grafos puede considerarse como un subconjunto de la topología de los espacios métricos.
El teorema del producto de Tychonoff de topología general tiene aplicación a algunas preguntas sobre grafos infinitos, como se puede ver en la respuesta a esta pregunta .
Un espacio topológico está definido por puntos y conjuntos abiertos. Podría interpretarse como un gráfico bipartito: los puntos son vértices en un conjunto de partículas, los conjuntos abiertos son vértices en el otro conjunto de partículas y cada conjunto abierto está unido por aristas a sus elementos. Pero esto es una locura.
Ciertos contraejemplos extraños en topología general se construyen al hacer una topología del espacio de subconjuntos independientes máximos de un gráfico infinito.
La teoría de grafos topológicos es otra cosa otra vez. Los gráficos se consideran incrustados o dibujados en una superficie topológica, lo que lleva a conceptos como la planaridad y el género de un gráfico.
Creo que la comparación más obvia entre los dos es que un gráfico es solo un complejo simplicial unidimensional, y la topología algebraica es el estudio de los complejos simpliciales (o más propiamente de los refinamientos modernos de la idea de un complejo simplicial).
En otras palabras, los gráficos solo tienen vértices y aristas, mientras que en topología también agregamos caras, etc.
Observación interesante: a menudo ambas disciplinas (teoría de grafos, topología) afirman que el famoso Problema de los siete puentes de Königsberg resuelto por Euler en 1736 [1] es uno de los primeros artículos de sus respectivas disciplinas.
Entonces, no tan diferente después de todo ^^
[1] Euler, Leonhard: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis
La teoría de grafos y la topología, si bien ciertamente se enriquecen mutuamente, son temas bastante diferentes. Un gráfico es un objeto discreto con muchas variantes. Puede ser dirigido o no dirigido, puede tener múltiples aristas entre dos vértices o no. Las preguntas típicas sobre gráficos tienden a no ser de naturaleza local. Un espacio topológico, por otro lado, es un objeto geométrico que está diseñado para capturar la noción de continuidad. Muchos de los aspectos de la topología son de naturaleza local. Además, el aspecto dirigido de los grafos en realidad no tiene una teoría bien desarrollada, o al menos no existe una teoría comúnmente aceptada de espacios topológicos dirigidos.
Entonces, si bien hay similitudes, las diferencias son enormes. Hay varias formas diferentes de construir una topología a partir de un gráfico y, del mismo modo, no existe una construcción canónica de un gráfico a partir de un espacio topológico.
MJD