Topología y gráfico

La respuesta es afirmativa. Una forma de asignar una topología a un gráfico es estudiar el gráfico como un complejo CW (o incluso un$\Delta$-complejo). Puede consultar las definiciones de estos espacios en el libro de Hatcher, disponible gratuitamente en línea ( aquí ). Pero, en términos generales, tanto los complejos CW como$\Delta$-complejos son espacios topológicos formados por células unidas ("bolas", espacios homeomorfos a$\mathbb{B}^n$) en varias dimensiones. Inserto una imagen de un complejo CW, un "toroide" en este caso:

Puedes encontrar una buena explicación de la imagen aquí .

Volviendo a los gráficos, vea la imagen de un complejo CW tomada de aquí y disponible en el libro Topología y Groupoides :

Para obtener más información sobre este enfoque, le recomiendo que eche un vistazo a las siguientes referencias:

• Lee, Introducción a las variedades topológicas, 2.ª ed. (Capítulo 5).
• Prasolov, Elementos de topología combinatoria y diferencial.
• Longueville, Un curso de combinatoria topológica.

Por ejemplo, en la tercera referencia se puede leer sobre un problema combinatorio planteado en 1955 en términos de teoría de conjuntos ( conjetura de Kneser ), traducido a teoría de grafos en 1978 ( aquí ) y resuelto asignando un complejo simplicial a algunos tipos de grafos ( aquí el papel original ).

Otro enfoque para construir una topología a partir de un gráfico dado es definir una métrica en el gráfico (por ejemplo, algún tipo de distancia entre vértices), pero me temo que ahora no recuerdo ninguna referencia donde se elabore.

He encontrado material que te puede resultar interesante:

• UN GRÁFICO DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA TOPOLOGÍA ALGEBRAICA

Claro, hay muchas maneras. Lo siguiente podría ser particularmente útil: Sea el conjunto subyacente$V\cup E$, y deja$U\subseteq V\cup E$ser abierto iff para todos$v\in U\cap V$, todos los bordes incidentes con$v$son también$\in U$.

Seguro

Esto es lo primero que me viene a la mente ya que he visto esta definición muchas veces. Y es bastante natural.

Siempre puede definir en un gráfico la métrica de la ruta, que asigna a cada dos vértices la longitud de la ruta mínima entre ellos. Si no están en el mismo componente conectado, defina su distancia como infinito.

es decir, dejar$G=(V,E)$sea ​​un gráfico (podría ser ponderado, dirigido, etiquetado, etc.) Luego defina

Ahora bien, esta métrica induce una topología en$V$, pero podría expandirlo fácilmente a$V\cup E$y obtenga la misma topología que se presentó en la respuesta de Hagen von Eitzen.

Y, de hecho, utiliza esta métrica en muchos campos.