Recientemente aprendí que tanto el teorema del punto fijo de Brouwer como el de Borsuk-Ulam admiten demostraciones teóricas de grafos bastante simples.
Si bien puedo seguir la esencia de ambas pruebas, me encuentro anhelando algún tipo de contexto más amplio para que encajen.
¿Existe algún tipo de maquinaria general para convertir problemas topológicos (o, al menos, alguna clase de problemas topológicos) en combinatorios de los que se deriven?
La respuesta es "sí", y de hecho la topología algebraica tiene mucho contenido combinatorio. Puede encontrar esto hoy en día con la noción de conjuntos simples (y otras herramientas de mayor potencia), pero la idea es muy antigua.
De hecho, en la antigüedad, la topología algebraica se llamaba topología combinatoria , por una buena razón. Mi libro favorito personal sobre este tema es Una introducción combinatoria a la topología de Henle . Este libro demuestra el teorema del punto fijo de Brouwer, el teorema de la curva de Jordan, el teorema de clasificación para superficies compactas y muchos más utilizando técnicas combinatorias.
Sin embargo, la conexión va en ambos sentidos, y al igual que podemos usar la combinatoria para resolver problemas topológicos, podemos usar la topología para resolver problemas combinatorios. Esta observación nos da el campo de la combinatoria topológica , y una gran referencia para esto es el uso del teorema de Borsuk-Ulam de Matoušek .
Espero que esto ayude ^_^
Una de las otras áreas donde la topología se cruza con la combinatoria es el área de los sistemas dinámicos topológicos, donde se pueden probar los teoremas de tipo Ramsey utilizando herramientas topológicas.
Los teoremas que se pueden probar incluyen:
Es un área bastante divertida de las matemáticas.
Theo Bendit
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