¿Qué sale mal cuando se intenta cuantificar un campo escalar con las estadísticas de Fermi?

En primer lugar, señalaré algunos conceptos erróneos aparentes en la pregunta y, posteriormente, explicaré qué falla al cuantificar una teoría de campos de espín entero o partículas con anticonmutadores, y viceversa.

Primero, si cuantificamos un campo real de Klein-Gordon usando anticonmutadores, el hamiltoniano se desvanece (o es una constante independiente del campo). A nivel de campos, el hamiltoniano para este campo es una suma de cuadrados$H=\sum_i A_i^2 (x)$(uno$A_i$es, por ejemplo,$\nabla\phi$). Desde$\{A_i(x),A_i(y)\}=0$($\{\phi(x),\phi(y)\}=0$),$A_i^2=0$para cada$i$, y por lo tanto$H=0$. A nivel de operadores de creación y aniquilación$H\sim \int_p\,a_p^{\dagger}a_p+a_pa_p^{\dagger}\sim\int_p\,\{a_p,a^{\dagger}_p\}$. Como$\{a_p,a^{\dagger}_q\}\sim\delta^3 (p-q)$, el hamiltoniano es una constante independiente del operador. Veamos qué sucede al considerar un campo escalar complejo de Klein-Gordon, un caso más interesante.

Campo escalar complejo (spin = 0) cuantificado con anticonmutadores

Aquí, es la microcausalidad la que falla. Considere un campo escalar complejo libre y un observable local bilineal$\hat O(x)=\phi^{\dagger}(x)o(x)\phi(x)$, con$o(x)$una función de número c real. Entonces, la causalidad nos dice que el conmutador de dos de estos operadores separados por una distancia similar al espacio debe desaparecer. Uno puede comprobar que:

Y utilizando la expresión de un campo de Klein-Gordon libre y complejo en términos de operadores de creación y aniquilación, podemos calcular el anticonmutador haciendo uso de las supuestas relaciones canónicas de anticonmutación entre los operadores de creación y aniquilación. El resultado es (debes revisar todo esto)

dónde$d^3\tilde {\bf p}$es una notación estándar para la medida invariante de Lorentz. Usando la invariancia de Lorentz de la expresión anterior y el hecho de que no desaparece para$x_0=y_0$, podemos concluir que$\{\phi(x),\,\phi^{\dagger}(y) \}$y, en consecuencia,$[\hat O(x),\hat O(y)]$no desaparezcas por separaciones similares al espacio, lo que viola la causalidad.

Por lo tanto, tanto los campos escalares reales como los complejos se niegan a ser cuantificados con anticonmutadores.

Girar$1/2$campo cuantificado con conmutadores

Comenzando con el hamiltoniano de Dirac, se obtiene

Entonces, para tener un estado de vacío de energía mínima, necesitamos un hamiltoniano que esté acotado por abajo. El$b$-los modos tienen signo negativo en el hamiltoniano por lo que hay dos alternativas:

• Intercambiar la acción estándar del$b$Operadores en el espacio de Hilbert. Eso es,$b^{\dagger}$va a aniquilar cuantos y$b$los va a crear, para que $$H|p\rangle_b\sim H\,b|0\rangle_b \sim [H,b]|0\rangle_b \sim \sqrt{m^2+p^2}|p\rangle_b$$ donde hemos hecho uso de$[b,b^{\dagger}]\sim \delta^{3}$. Sin embargo, al hacer esto terminamos con estados de norma negativa. $$_b\langle p|p'\rangle_b=\langle 0|b^{\dagger}_p\,b_{p'}|0\rangle=-2\,\left|{\sqrt{m^2+p^2}} \, \right|\,\delta^3(p-p')\, \langle 0|0\rangle \; ,$$ lo que impide una interpretación probabilística (las probabilidades negativas no tienen sentido).
• La alternativa es utilizar anticonmutadores (es decir, fermi-estadística), que invierten el signo en el hamiltoniano. Esta es la elección que funciona.

Estos obstáculos son una consecuencia del teorema de conexión de la estadística de espín de Pauli.