¿Qué pasa con toda la notación de índice en la relatividad general?

Estoy estudiando relatividad general por cuenta propia con las conferencias de Leonard Susskind en Stanford. Lo que me molesta es la notación de GR, específicamente, la notación de índice.

Primero en términos sencillos , alguien puede explicar esto y luego pasar a la explicación más precisa y física de por qué:

  1. ¿Por qué necesita toda esa notación de índice?
  2. ¿Para que sirve?
  3. Proporcione un ejemplo concreto (no abstracto) y simple de esta notación en acción

Responder estas preguntas me ayudará a entender más sobre GR y me brindará los conceptos básicos de GR.

Su pregunta es muy vaga y básica (está solicitando un curso GR). Debes identificar lo que entiendes y avanzar lentamente a partir de ahí. Por ejemplo, ¿sabe "qué pasa con" toda la notación de índice con matrices?
@ m4r35n357 Sí, entiendo lo que significa la notación de índice en las matrices, es para nombrar o numerar un componente en la matriz. Es para especificar de qué componente estás hablando. EDITAR: Además, me gustaría entender los conceptos básicos primero antes de continuar. Me estaría perjudicando a mí mismo si no entendiera los conceptos básicos, así que no me arrepiento de preguntar.
bueno, es una extensión de esa idea.
@m4r35n357 Entonces, ¿qué significaría esta notación? (tomado de la conferencia): gyazo.com/016ca176e9ff0771f91011029ea8f925 , me confunde con las yes con "exponentes".
xm es igual a ym más un término generado al multiplicar el (¿símbolo de Christoffel?) c con dos vectores. Si ha llegado hasta aquí sin que lo que dije tenga sentido, se ha perdido algo bastante importante y, en ese caso, sugeriría comenzar de nuevo desde cero con el análisis tensorial.
@ m4r35n357 No es que no entendiera completamente la notación de índice, la entendía un poco, pero quería estar seguro. Lo que dijiste, "es una extensión de la indexación matricial", ahora tiene sentido.
@Tachyon Debe tener cuidado al representar tensores como matrices. Es visualmente útil, pero pierde información sobre dónde están los índices cuando hace esto.

Respuestas (3)

  1. Porque proporciona una forma agradable y fácil de manejar tensores y las operaciones que existen entre ellos. Junto con la convención de suma, la notación de índice condensa masivamente las ecuaciones utilizadas en la relatividad general.

  2. Hace que las manipulaciones en relatividad general sean tan simples como conocer algunas reglas sobre cómo los índices pueden y no pueden interactuar entre sí.

  3. Incluso alguien nuevo en relatividad general podrá ver que:

    (1) T m gramo m v A m = X v
    es una ecuación tensorial inválida, porque hemos usado el mismo índice tres veces en un término (y tenemos el mismo índice hacia abajo dos veces). Si escribimos esto sin la notación de índice y sin la convención de suma, sería bastante difícil de descifrar y no sería inmediatamente obvio que no es válido. Las convenciones de índice/suma son formas de despejar visualmente las ecuaciones en GR sin sacrificar información importante.

Gracias por tu clara explicación. Entonces, ¿usar la notación de índice facilita las operaciones de tensor y, entre otras cosas, simplifica los cálculos a un contexto más general?
@Tachyon Realmente no "simplemente cálculos", ya que en realidad no está cambiando la forma en que realiza los cálculos numéricos, pero hace que las ecuaciones en relatividad general sean mucho, mucho más fáciles de leer. Especialmente porque la convención de suma condensa cuatro términos en uno cada vez que se usa. Tome la ecuación geodésica por ejemplo:
d X m d λ + Γ σ v m d X σ d λ d X v d λ = 0 ,
esta ecuación tiene dos sumas en el mismo término, lo que normalmente significaría escribir 16 términos, pero lo hemos condensado en 1
Veo a que te refieres. Sí, eso mejora las cosas.
Sé por qué no podemos tener más de 2 apariciones de variables ficticias en un lado, pero ¿por qué no podemos tener las mismas variables "abajo" dos veces?
@ JohnyO42 Por dos razones: 1. Un índice repetido implica una suma. 2. Solo una suma entre un índice "arriba" y "abajo" produce un objeto que se garantiza que es un tensor.

La razón simple para usar la notación de índice es que la mayoría de los matemáticos y físicos encuentran que (eventualmente) es una forma natural e intuitiva de describir las operaciones de tensor. Solo se necesita un poco de trabajo para llegar a la etapa "natural e intuitiva", pero luego d 2 X d t 2 Debe haberse visto raro cuando lo encontramos por primera vez también.

Sin embargo, la notación de índice no es el único juego en la ciudad: Roger Penrose inventó y defendió una notación gráfica alternativa . Tal vez si nos hubieran enseñado esto desde el primer día, nos estaríamos preguntando "¿qué pasa con todos los extraños diagramas de espagueti en GR?" en cambio.

Se trata de distinguir a − b de b − a .

-1 Porque realmente no estoy seguro de lo que esto significa, o cómo se relaciona con la pregunta. Como tal, no lo veo como una respuesta a esta pregunta. Alguna elaboración probablemente será útil.
¿Qué pasa con toda la notación de índice en la relatividad general?
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