Incrustación de partículas en campos.

Para la clasificación de partículas (Wigner 1939), buscamos representaciones unitarias del grupo de Poincaré/Lorentz. ¡Solo hay representaciones unitarias de dimensión infinita (no triviales)!

Para construirlos, nos enfocamos en el "pequeño grupo" que deja fijo el momento y encontramos sus repeticiones unitarias de dimensión finita (clasificadas por los dos números cuánticos metro y j ). Cada una de estas repeticiones depende del impulso. pag m , por lo que en general obtenemos las repeticiones unitarias infinitas en forma de campos en el espacio de impulso.

Entonces, si ya tenemos campos que son representantes unitarios del grupo de Poincaré, ¿por qué todavía tenemos que incrustarlos en diferentes representantes, como escalar ? ϕ ( X m ) , vectorial A m ( X m ) o tensor T m v ( X m ) ¿campos? ¿Por qué no podemos simplemente usar las repeticiones unitarias que encontramos?

Supongo que me equivoqué y son unitarios; lo corregí en mi pregunta. Pero, ¿por qué no usamos simplemente las repeticiones que encontramos antes? ¿Qué hay de malo en usarlos? Para ser más específicos: ¿por qué no usamos el metro > 0 , j = 1 , pag m rep en lugar del campo de cuatro vectores A m ( pag m ) ?

Respuestas (1)

La clasificación de Wigner de las representaciones de partículas es importante , pero no lo único que se necesita para una teoría de campo (cuántica). En particular, no puede esperar que los campos se transformen en una de las representaciones de Wigner:

Un campo clásico ϕ transformándose bajo cualquier grupo GRAMO se da como una sección de un GRAMO -haz vectorial equivalente sobre el espacio-tiempo Σ , o, de manera equivalente, un GRAMO -mapa equivalente ϕ : Σ → V ρ dónde V ρ es un espacio de representación de GRAMO con representación ρ y ϕ ( Λ X ) = ρ ( Λ ) ϕ ( X ) .

La definición del campo que toma valores en un espacio vectorial lo restringe a transformarse en una representación de dimensión finita, por lo que no puede ser una de las partículas de Wigner. Es importante que, mientras que los campos contienen los operadores de creación y aniquilación de las partículas en su modo de expansión, ellos mismos no se transforman como partículas. Es el espacio de Hilbert de una QFT el que debe llevar las representaciones unitarias adecuadas, no los campos.

Necesitamos un campo porque codifica la dinámica de la teoría: una QFT necesita un mapa entre los estados de entrada y salida, dado por la matriz S, que se obtiene de la acción del campo a través de la integral de trayectoria (o el formalismo LSZ o cualquier enfoque te sientes más cómodo). El mero conocimiento de los espacios de Fock (a través de la clasificación de Wigner) no es suficiente para esto.

Una teoría libre esencialmente proporciona el mapa de evolución del tiempo de entrada / salida como la identidad: los estados simplemente permanecen iguales, no interactúan en absoluto. En este sentido, puedes dar una teoría libre simplemente especificando los espacios de Fock. Puede ser interesante en las formulaciones axiomáticas de QFT, por ejemplo, los axiomas de Wightman , donde explícitamente partimos de las repeticiones unitarias de Lorentz + la dinámica codificada en los campos cuánticos, y se exige explícitamente que la transformación del campo como un operador en el unitario reps está dada exactamente por la transformación equivalente ϕ ( Λ X ) = ρ ( Λ ) ϕ ( X ) = tu ( Λ ) ϕ ( X ) tu ( Λ ) † . Incluso si da la dinámica como libre/trivial, todavía necesita el campo para codificarla.

¡Está bien, gracias! Eso explica por qué podemos usar repeticiones escalares/vectoriales/tensoriales no unitarias como nuestros campos, pero no por qué necesitamos hacerlo . ¿Por qué no olvidarse de los campos (clásicos) y trabajar con los representantes que encontró Wigner?
@quantumorsch: ¿Cómo lo harías? QFT generalmente procede mediante la cuantificación de una teoría de campo clásica, por lo que tiene estos campos en su teoría, lo quiera o no. El conocimiento de que los estados de las partículas se transformarán en algún representante unitario del grupo de Lorentz no es suficiente para fijar la teoría en ningún sentido. Necesita la noción del campo para poder calcular cosas como el propagador; no obtiene eso solo de las repeticiones.
Ya veo, pero supongamos que no tuviéramos conocimiento de los campos clásicos y quisiéramos hacer física de partículas "desde cero". Wigner nos mostró qué tipos de representantes irreducibles existen y ahora queremos construir una teoría interactiva a partir de ellos. ¿Por qué no podemos proceder usando esos estados (elementos del espacio de representación)? ¿Por qué incorporarlos en nuevos objetos/campos matemáticos que se transforman de forma no unitaria? A j = 1 El estado se transforma muy bien como un triplete: ¿por qué usar los componentes de un vector de cuatro y arruinar la propiedad de transformación agradable?
@quantumorsch: un QFT está dado por los espacios de Hilbert de entrada/salida y los mapas entre ellos (este mapa es la matriz S/función de partición/integral de ruta, esencialmente). Wigner solo te dice qué son los espacios de Hilbert, no te dice nada sobre la matriz S. La teoría de la representación por sí sola, a excepción de las CFT en dos dimensiones, no es suficiente para restringir las funciones de partición, aún deben darse externamente, y la forma habitual de darlas en QFT normal es como la integral de trayectoria de una acción de campo clásica.
Entonces, ¿sería posible construir una teoría de partículas libres a través de mi enfoque? ¿El problema radica en las interacciones (S-matrix)? Pensé que la incrustación de repeticiones de Wigner en los campos ya es necesaria para las partículas libres.
@quantumorsch: Vea mi edición.
Incrustación de partículas en campos.
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