¿Confusión con respecto a la definición común de tiempo adecuado?

Estoy un poco confundido con respecto a una definición comúnmente citada de tiempo adecuado. Por ejemplo, en Spacetime and Geometry , Sean Carroll escribe:

el tiempo propio entre dos eventos medido el tiempo transcurrido visto por un observador que se mueve en un camino recto entre los eventos

De manera similar, en Gravity , James Hartle escribe:

tiempo propio - el tiempo que sería medido por un reloj llevado a lo largo de la línea del mundo [entre dos eventos]

Permítanme explicar mi confusión: intentaré ser lo más preciso posible, por lo que esta publicación puede ser un poco larga.

Definición de tiempo propio

La definición de tiempo propio con la que estoy trabajando es:

d τ 2 = − d s 2 / C 2
dónde d s 2 es el intervalo de espacio-tiempo entre dos puntos.

definicion de reloj

Estoy asumiendo un modelo de un emisor/detector de luz y un espejo separados por una distancia L en el y dirección. El reloj emite luz, viaja al espejo, rebota y es detectado por el detector. El reloj marca cada vez que el detector detecta un pulso de luz. Así, cada tick está separado por un intervalo de Δ t = 2 L / C . Por lo tanto, el reloj mide el intervalo de tiempo coordinado entre una emisión y la detección de un pulso*.

Definición de un marco intertial

Establecemos coordenadas espaciales a través de una cuadrícula de varillas rígidas, de una manera que se encuentra comúnmente en la mayoría de los libros de texto. Podemos definir nuestra coordenada de tiempo usando un reloj que está estacionario con respecto a nuestra cuadrícula. Por lo tanto, un tic del reloj (definido anteriormente) se considera como una unidad de tiempo coordinado.

Con las definiciones anteriores fuera del camino, midamos el tiempo adecuado entre dos eventos: la emisión (A) y la detección (B) de un pulso de luz de nuestro reloj. Lo consideraremos en dos marcos, a saber, el marco de reposo del reloj y un marco en el que el reloj se está moviendo. Ahora, la línea de universo entre nuestros dos eventos es una trayectoria en el espacio-tiempo y, por lo tanto, debería ser independiente del sistema de coordenadas que usamos para describirla; es decir, su longitud debe ser la misma en los dos marcos que consideramos.

Marco de descanso del reloj

En el marco de reposo, el reloj emite un pulso de luz y un tiempo de coordenadas después Δ t lo detecta ¿Cuánto (en el espacio-tiempo) se ha movido el reloj mientras tanto? Dado que este es el marco de descanso del reloj, Δ X i = 0 , entonces

Δ s 2 = − ( C Δ t ) 2 → Δ τ 2 = Δ t 2

Así, en este caso, el intervalo de tiempo coordinado entre la emisión y la detección del pulso (para un reloj transportado en una línea de tiempo entre A y B) coincide con precisión con el tiempo adecuado. Esto tiene mucho sentido dada la definición.

Marco en movimiento (donde yace mi confusión)

Considere un marco impulsado con una velocidad − v en relación con el marco de reposo del reloj en el X dirección. En este marco, el reloj se mueve con velocidad v en el X dirección. La trayectoria del reloj en el espacio-tiempo sigue siendo la misma (debería ser invariable; después de todo, el camino que toma el reloj no debería cambiar en función de cómo lo pensemos), pero se ve diferente bajo las nuevas coordenadas. El reloj llevado a lo largo de esta trayectoria sigue marcando cada vez que detecta un pulso. En estas coordenadas, dicen que el reloj detecta un pulso después Δ t ′ . Entonces el intervalo de espacio-tiempo entre A y B es

Δ s 2 = − ( C Δ t ′ ) 2 + ( Δ X ′ ) 2
que se reduce a (observando Δ X ′ = v Δ t ′ )
Δ s 2 = − ( C Δ t ′ ) 2 ( 1 − v 2 / C 2 ) → Δ τ = Δ t ′ 1 − v 2 / C 2

que es el resultado estándar de que un reloj en movimiento funciona más lento.

Mi confusión es que, en este caso, el tiempo medido en este cuadro por el reloj llevado de A a B es Δ t ′ , NO Δ τ . Aunque el reloj se transporta en la misma trayectoria espacio-temporal (descrita en diferentes coordenadas), funciona más lento ( Δ t ′ > Δ t = Δ τ ). Así, el tiempo medido por este reloj no es el tiempo propio, aunque esté en la línea del mundo entre dos puntos.

Sé que me estoy perdiendo algo aquí con las definiciones, pero no puedo decir qué. Si un reloj en la línea universal entre dos eventos mide el tiempo correcto, y el tiempo correcto es invariable, entonces los relojes que se mueven entre A y B deberían funcionar en el mismo intervalo sin importar si nuestro sistema de coordenadas tiene A y B en diferentes posiciones espaciales. ¿Qué está causando mi confusión?

Respuestas (1)

El tiempo adecuado a lo largo de una línea de tiempo entre dos eventos es como la distancia a lo largo de un camino entre dos puntos. El tiempo propio depende de la línea del mundo: este es el efecto del reloj. Las diferentes líneas del mundo de los eventos A a B relacionados cronológicamente tienen tiempos propios diferentes.

(Dada una línea de tiempo particular de A a B, todos los observadores están de acuerdo en el tiempo adecuado transcurrido en esa línea de tiempo. Para esa línea de tiempo, todos los observadores están de acuerdo en las lecturas del reloj en esa línea de tiempo).

El intervalo [cuadrado] del espacio-tiempo es como la distancia al cuadrado entre dos puntos en el plano (tomado a lo largo de una línea recta que une los puntos). En el espacio-tiempo de Minkowski, el intervalo cuadrado de los eventos A a B relacionados cronológicamente es el cuadrado del tiempo propio a lo largo de la línea de tiempo inercial de A a B.

Creo entender estos puntos. Mi confusión surge con respecto a lo que significa "llevar un reloj a lo largo de una línea mundial". Un reloj en movimiento marcará más lentamente que un reloj estacionario, y la hora coordinada registrada por dicho reloj no será la hora correcta. ¿En qué sentido, entonces, un reloj llevado a lo largo de una línea universal mide el tiempo propio? Entiendo cómo es este el caso si estamos en el marco estacionario del reloj. Sin embargo, si no lo estamos, el tiempo coordinado (medido por el reloj) no coincidirá con el tiempo adecuado.
Al llevar un reloj a lo largo de una línea temporal, quiero decir que el reloj [o mejor reloj de pulsera] lo lleva el observador. Entonces, el reloj de pulsera está en reposo con respecto al observador y el reloj y el observador trazan la misma línea de tiempo en un diagrama de espacio-tiempo. Entonces, este reloj mide el tiempo propio del observador. Geométricamente, este reloj mide la longitud de arco de Minkowski de la línea del mundo en un diagrama de espacio-tiempo, al igual que el cuentakilómetros de un coche mide la longitud de arco de la trayectoria de un coche en la carretera.
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