¿Qué escritura es la fuente del verso "janmana jayate shudra.. " (todos nacen shudra)?

No, este shloka no es de Shreemad Bhagvat Purana.

Este shloka se da en Skanda Purana Vol.18 Libro VI, Nagar Kanda, Capítulo 239, (Eficacia de la Adoración, Penitencia, etc.) Verso 31-34

जन्मना जायते शूद्रः संस्कारात् द्विज उच्यते।
31-34||

31: Un hombre no es mejor que un sudra en su nacimiento . Se le llama Brahmana (dos veces nacido) debido a la consagración. La capacidad de maldecir y bendecir, el estado de estar enojado y complacido y el estado de ser el principal en los tres mundos ocurren solo en Brahmana.

Este capítulo trata sobre la adoración del Señor Vishnu que se realiza por medio de Dieciséis Upacharas. (Shodasopachara puja) (षोडशोपचार पूजा). Este shloka se usa en el contexto de Achamana, Yajnopavita, Dvija. Pero el capítulo específico habla de Devoción, Chatrumas puja y Panchyatana puja.

El contexto del verso es:

Un brahmán se compara con Shudra en su nacimiento (al igual que un Shudra no puede aprender los Vedas durante toda su vida, un brahmana tampoco puede aprender hasta que se somete a Upanayana).

Luego, después de completar su Upanayana, se convierte en un dwija, es decir, Samskara Bhaved Uchhyate .

Entonces, este verso no significa que todos los humanos nacen Shudras.

El verso completo tal como lo leí (la fuente no se conoce exactamente, pero creo que Manu Samhita).

जन्मना जायते शूद्रः संस्कारात् द्विज उच्यते।
वेदाभ्यास भवति विप्र ब्रह्मम जानति ब्राह्मणः||

(Buscando corrección y aclaración)

जन्मते शूद्र पुनः गयी शूद्रा। कृत्रिम जनेऊ घाली जगधुदा।

Al nacer, uno se convierte en Shudra, Ahora ciegos Shudras Ahora nuevamente haz una línea divisoria entre ellos. Que fútil. _Por kabir

जन्मान जायते शूद्र। विप्रयत द्विज (ब्राह्मण)। ¡Lo! Quien nació es Shudra. Pero mediante la purificación de la mente y el logro del conocimiento védico por la fe, uno se vuelve Dwija (Brahman) _ Por Atri rushi

Buda dejó esto a un lado para el vano ritual de castaísmo nacido del conocimiento védico malentendido por el llamado brahmán duplicado de Kaliyuga ciego y dijo: "Por las obras, uno se convierte en brahmana".

Por lo tanto, todos deben tener fe de corazón en la Verdad y convertirse en Brahman (cortar el lazo del nacimiento y la muerte) es el mensaje detrás de la declaración.