doble suma de dos coeficientes binomiales

la pregunta nos pide que calculemos la siguiente suma:

∑ 0 ≤ i ≤ j ∑ j ≤ norte ( C i + C j ) 2

Sinceramente, no sé qué hacer con los términos al cuadrado. C i 2 y C j 2 .
Llegué al punto en que podía evaluar la suma de C i C j

Obtuve la siguiente expresión:

∑ 0 ≤ i ≤ j ∑ j ≤ norte ( C i 2 + C j   2 ) + ( 2 norte ) 2 − 2 norte C norte

**viene de la parte donde usamos la fórmula

∑ 2 a la vez  = ( a + b + C + d . . . . . ) 2 − ( a 2 + b 2 + C 2 + d 2 . . . . . )

Entonces, ¿ahora cómo lo soluciono? ¿Qué hago con el primer término de la suma?

∑ 0 ≤ i ≤ norte     ∑ 0 ≤ j ≤ norte ( C i + C j ) 2 = ∑ 0 ≤ i ≤ j   ∑ j ≤ norte ( C i + C j ) 2 + ∑ 0 ≤ j ≤ i   ∑ i ≤ norte ( C i + C j ) 2 − ∑ i = j ( C i + C j ) 2 = 2 ∑ 0 ≤ i ≤ j   ∑ j ≤ norte ( C i + C j ) 2 − ∑ i = j ( C i + C j ) 2
¡vaya! ¿Qué hiciste allí @Asher2211?
la suma y la resta, ¿es válida? uno tiene doble suma otro tiene solo
∑ 0 ≤ i ≤ j   ∑ j ≤ norte ( C i + C j ) 2 = ∑ 0 ≤ j ≤ i   ∑ i ≤ norte ( C i + C j ) 2
∑ 0 ≤ i ≤ j   ∑ j ≤ norte ( C i + C j ) 2 incluye todos los casos con i ≤ j y ∑ 0 ≤ j ≤ i   ∑ i ≤ norte ( C i + C j ) 2 incluye todos los casos con j ≤ i . Hemos contado el caso i = j en ambas las sumas así que restamos ∑ i = j ( C i + C j ) 2 . Esto es básicamente como el principio de inclusión y exclusión.
Oh sí sí. poco a poco lo estoy consiguiendo. déjame esperar respuestas también

Respuestas (2)

Empezar con

PAG norte = ∑ i = 0 norte ∑ j = 0 norte ( A i + A j ) 2 = ( 2 norte + 2 ) ∑ k = 0 norte A k 2 + 2 ( ∑ k = 0 norte A k ) 2 ,         ( 1 )
Entonces
T norte = ∑ 0 ≤ i ≤ j ∑ j ≤ norte ( A i + A j ) 2 = 1 2 [ PAG norte + 4 ∑ k = 0 norte A k 2 ] = ( norte + 3 ) ∑ k = 0 norte A k 2 + ( ∑ k = 0 norte A k ) 2         ( 2 )
Uno puede comprobar que si A k = k , obtenemos T 0 = 0 , T 1 = 5 , T 2 = 34 , T 3 = 120.

En el caso de OP (2) da

S norte = ∑ 0 ≤ i ≤ j ∑ j ≤ norte [ ( norte i ) + ( norte j ) ] 2 = ( norte + 3 ) ( 2 norte norte ) + 2 2 norte         ( 3 )
cuando vas a la olla norte = 0 , usted obtiene S 0 = 4 , S 1 = 12 , S 2 = 46 , con razón.

La lógica me parece bien, pero la respuesta no. Aquí está la respuesta que se publicó: drive.google.com/file/d/1uXxIexAdHzNN_uGR6fQQxXATDE4zC48K/…
Lo siento, esto no es correcto. La prueba simple es para norte = 0 uno debe obtener S = 4
Sí estoy de acuerdo con usted

El problema se vuelve mucho más simple si visualizamos los índices como puntos reticulares en el i j -avión.

Considere los puntos de red dentro y sobre el cuadrado con vértices ( 0 , 0 ) , ( norte , 0 ) , ( 0 , norte ) y ( norte , norte ) . Y a cada punto ( i , j ) , asigna el valor ( C i + C j ) 2 . El problema nos pide que calculemos la suma de los valores asignados dentro y sobre el triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , norte ) , ( norte , norte ) . Como los valores son simétricos a lo largo de la línea i = j , y es fácil encontrar la suma de ( C i + C j ) 2 cuando i = j , basta con centrarse en todo el cuadrado. Es decir, para evaluar la suma ( C i + C j ) 2 sobre todos los índices i = 0 , … , norte y j = 0 , … , norte .

Ahora es bastante fácil ver que esta suma sobre todos los índices es igual a

2 norte ⋅ C norte 2 norte + ( 2 norte ) 2 .

Ahora, solo tenemos que restar la diagonal y listo.

Para norte = 0 tu expresión da 1, pero debería ser 4.
Lo siento, tu solución no es correcta.
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