¿Qué es un potencial efectivo en mecánica clásica?

No es necesario introducir el potencial efectivo en mecánica orbital pero es realmente útil.

Digamos que tenemos una partícula moviéndose en un potencial gravitatorio central. Las leyes de Newton te dan una ecuación vectorial de movimiento

$$\begin{equation} m \ddot{\vec{x}} = - \nabla U \end{equation}$$ dónde $U = - G M m /r$. En un sistema de coordenadas general, este es un conjunto complicado de tres ecuaciones diferenciales acopladas.

Queremos simplificar y desacoplar estas ecuaciones tanto como sea posible. Entonces trabajamos en coordenadas esféricas. Dejaré la derivación de las partes angulares de la ecuación de movimiento para el libro de texto, concentrémonos en la parte radial. El lado izquierdo de la ley de Newton se convierte en

$$\begin{equation} m \ddot{\vec{x}} \cdot \hat{e}_r = m \frac{d^2}{dt^2}\left(r \hat{e}_r\right)\cdot\hat{e}_r = m\ddot{r} - m \dot{\theta}^2 r = m \ddot{r} - \frac{L^2}{m r^3} \end{equation}$$ En la última línea, he usado el hecho de que sabemos que el momento angular $L = m \dot{\theta} r^2$se conserva Similarmente, $$\begin{equation} -\nabla U \cdot \hat{e}_r =- \frac{G m M}{r^2} \end{equation}$$ Entonces, juntándolo, $$\begin{equation} m \ddot{r} - \frac{L^2}{m r^3} = -\frac{G m M}{r^2} \end{equation}$$

Así que ahora es una cuestión de interpretación, ahora podemos pensar en$r$como la coordenada de una partícula que vive en una dimensión. Hemos agregado efectivamente un término a la ley de newton para$r$que no tiene derivados. ¿Por qué no llamar a eso un potencial? En otras palabras, ¿por qué no reorganizar la ecuación anterior para que se parezca más a un simple problema de mecánica 1D?

$$\begin{equation} m \ddot{r} = - \frac{G m M}{r^2}+ \frac{L^2}{m r^3} = - \frac{d}{dr}\left( - \frac{GmM}{r} + \frac{L^2}{2 m r^2} \right) \end{equation}$$ ¡Esta es una imagen extremadamente útil, porque todos sabemos cómo se mueve una partícula en un potencial! Dado un momento angular, puede trazar el potencial e inmediatamente ver dónde están las órbitas circulares estables (los mínimos del potencial). También puede ver cualitativamente cómo hay una barrera para acercarse demasiado al objeto (lo cual tiene sentido: si tiene un momento angular, no esperaría una colisión frontal).

Esto no es trivial: ha calculado un problema bidimensional (encontrar una órbita circular, o incluso oscilaciones alrededor de esa órbita). En otras palabras, el problema era mucho más simple de lo que parecía originalmente (no tenías que resolver tres ecuaciones diferenciales arbitrarias acopladas, solo una simple con un potencial), y aprovechamos esto usando un potencial efectivo. Este tipo de truco aparece por todas partes en la física.