¿Qué es una transformación de punto?

ingrese la descripción de la imagen aquíEste problema viene de Goldstein.

Que hace s = mi γ t q ¿significar? ¿Acabo de poner q = mi − γ t s en el lagrangiano?

Pero no sé qué significa eso.

Creo que la transformación de puntos puede relacionarse con la transformación canónica de wikipedia, pero esto no es suficiente para entenderlo. ¿Me podrías dar un consejo para aprender sobre esto?

Respuestas (1)

En este contexto, se trata de un cambio de variables. La variable en el Lagrangiano original es q , y Goldstein te pide que uses otra variable s , que está relacionado con el original q a través de la "transformación":

s = Exp ⁡ ( γ t )   q
y luego, darle sentido (con las preguntas posteriores). La transformación de punto en este contexto se refiere simplemente a esta transformación de coordenadas. Si busca comprender desde el punto de vista de las transformaciones canónicas , estas transformaciones puntuales son transformaciones de las coordenadas generalizadas adoptadas. Estos formarían un subconjunto de transformaciones canónicas, ya que este cambio de coordenadas q → s estaría acompañado por un cambio correspondiente en los momentos generalizados (a través de la transformación de Legendre ) y, por lo tanto, no afectará las ecuaciones de Hamilton en este contexto.

Entonces, si uno puede pensar en cualquier transformación que dé un cambio correspondiente en los momentos generalizados, ¿entonces puede usarla sin restricciones? Y por lo tanto, ¿es solo un truco matemático que simplemente no cambia las ecuaciones de Hamilton?
@LandosAdam - Claro. Pero importa si estás viendo una transformación que termina simplificando el problema. Si no, esta transformación apenas tiene virtud. Por ejemplo, considere este desvío: en las transformaciones integrales, transforma una ecuación de espacio real en una de espacio de momento, pero aunque el procedimiento funciona para cada ecuación de espacio real físicamente significativa, hacer esto no es beneficioso para todos los casos. ¡Es útil solo cuando esto simplifica el problema, de lo contrario, sería mejor resolver las ecuaciones originales por sí mismos! La misma idea aquí también.
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