¿El signo negativo en el lagrangiano L=T−VL=T−VL=TV se relaciona con la (+,−,−,−)(+,−,−,−)(+,-,-,-) firma de Minkowski? de la relatividad?

He leído muchas derivaciones de la ecuación de Euler-Lagrange, pero este es más un punto físico-filosófico.

Energía cinética T involucra derivadas de tiempo , mientras que el potencial involucra ubicación espacial . En relatividad, el tiempo y el espacio aparecen con signos opuestos, (+,-,-,-). En la ecuación de onda también lo hacen ( F t t − F X X . . . = 0 ). En problemas puramente espaciales, como "¿cómo se asienta un trampolín bajo una fuerza puntual?", usamos la ecuación de Poisson, que es puramente espacial y solo involucra cantidades positivas.

¿Existe un método general en el que tanto los problemas espaciales como los espaciotemporales aparezcan como minimizaciones? Siento una conexión, pero no la veo del todo.

Respuesta corta: No. Después de todo, el método de Lagrange también se puede usar para describir la mecánica de Galileo exactamente de la misma manera.
@balu La única diferencia en la mecánica galileana es la velocidad infinita de la luz, pero la firma métrica es efectivamente la misma. Estrictamente hablando, las métricas de espacio y tiempo están separadas en la mecánica de Galileo. Sin embargo, dado que nada real es infinito, puedes pensar que la velocidad de la luz es simplemente muy, muy grande. Entonces, el espacio-tiempo galileano es simplemente el espacio-tiempo de Minkowski con velocidades no relativistas, pero con la misma firma métrica. En otras palabras, la diferencia entre espacio y tiempo no se elimina en la mecánica galileana.
Para calcular geodésicas en un espacio-tiempo dado por una métrica, simplemente use la métrica como un Lagrangiano y resuelva las ecuaciones EL. Por lo tanto, su intuición parece tener algún apoyo.
@safephere Estoy totalmente en desacuerdo con su afirmación de que "la firma métrica es efectivamente la misma". Como usted dice, "las métricas de espacio y tiempo están separadas en la mecánica galileana" y por esta razón no podemos tratar el mundo galileano como el espacio de Minkowski con una velocidad de la luz increíblemente alta, pero finita. C . El límite C → ∞ que estás describiendo no funciona. Para ver esto, considere que la velocidad de la luz en unidades naturales siempre será 1 . Dicho de otra manera (en términos más matemáticos), la ley de inercia de Sylvester siempre dará la métrica habitual de Minkowski. En particular…
…el grupo de isometría (= el grupo de Poincaré I S O ( 1 , 3 ) y así la estructura causal siempre será la misma, para todos C < ∞ . Sí, desde un punto de vista puramente matemático hay una manera de dar sentido al límite. I S O ( 1 , 3 ) → GRAMO , dónde GRAMO es el grupo de Galileo (ver "Contracción de grupo" en Wikipedia) pero diría que esto no tiene relevancia física.

Respuestas (1)

Mayormente No, pero a veces Sí. Por ejemplo, en la densidad lagrangiana

L   =   1 2 ∂ m ϕ   η m v ∂ v ϕ − V ( ϕ )   =   1 2 ϕ ˙ 2 − 1 2 ( ∇ ϕ ) 2 − V ( ϕ ) ⏟ menos  términos potenciales

el primero (segundo) menos en los términos potenciales está relacionado (no relacionado) con la firma de Minkowski ( + , − , − , − ) , respectivamente.

¿El signo negativo en el lagrangiano L=T−VL=T−VL=TV se relaciona con la (+,−,−,−)(+,−,−,−)(+,-,-,-) firma de Minkowski? de la relatividad?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 2v