¿Qué es un múltiple?

¿Qué es un múltiple?

Una variedad es un concepto de las matemáticas que no tiene nada que ver con la física a priori.

La idea es la siguiente: probablemente hayas estudiado geometría euclidiana en la escuela, por lo que sabes cómo dibujar triángulos, etc. en una hoja plana de papel. En contraste con el lenguaje común, tomemos "espacio" para significar cualquier cosa con una serie de puntos. El plano euclidiano ($\mathbb{R}^2$) o tu hoja de papel son un "espacio", el espacio 3d que te rodea es un "espacio" o la superficie del mundo es un "espacio" (advertencia: en realidad, quiero definir un espacio topológico, que no es "todo con un número de puntos", pero no nos distraigamos aquí).

Ahora, si miras la superficie de la esfera, definitivamente no es un espacio euclidiano: en la geometría euclidiana, la suma de todos los ángulos en un triángulo es 180°, lo cual no es cierto para la superficie de una bola, una esfera. Sin embargo, si solo observa una pequeña parte de la esfera, es aproximadamente cierto. Por ejemplo, percibes la tierra como plana aunque no lo es si la miras desde arriba.

Una variedad es todo "espacio" con esta propiedad: localmente, parece un plano euclidiano. El círculo es una variedad (parece una línea localmente, que es el espacio euclidiano unidimensional$\mathbb{R}$), la esfera (parece un plano localmente), tu habitación (parece un espacio euclidiano en 3D$\mathbb{R}^3$localmente - olvídate de los límites aquí), etc.

Lo bueno de las variedades es que esta propiedad de parecerse al espacio euclidiano localmente hace posible describirlas completamente usando solo espacios euclidianos. Ya que conocemos muy bien el espacio euclidiano, eso es algo bueno. Por ejemplo, puede tomar un mapa de Inglaterra; dado que la palabra "mapa" se usa de manera diferente en matemáticas, llamémoslo "gráfico". Esta es una forma perfectamente buena de describir Inglaterra, aunque en realidad es parte de un objeto redondo. Puede unir muchos de estos gráficos para obtener un atlas completo que cubra la tierra que le brinde una buena descripción de la tierra usando solo hojas de papel 2d. Obviamente, necesitará más de un gráfico para cubrir toda la tierra sin duplicar ciertos puntos y, obviamente, si el gráfico cubre un área muy grande, se verá muy distorsionado en algunos lugares.

Y eso es un múltiple. Es un espacio donde puedes crear un atlas de gráficos, cada uno de los cuales es (parte de un) espacio euclidiano que describe una parte del espacio. De acuerdo, no del todo: lo que quiere de la variedad es que pueda pasar de un gráfico a otro con una buena operación. Por ejemplo, en su atlas de la tierra, algunas cartas se superpondrán y los puntos en la superposición que están muy juntos en una carta estarán juntos en la otra carta. En otras palabras, tiene un mapa entre las regiones superpuestas de dos gráficos cualesquiera y ese mapa es continuo (en ese punto obtiene una variedad topológica) o incluso diferenciable (en ese punto obtiene una variedad diferenciable).

A estas alturas, debería ser obvio para usted que debería ser posible decir que el espacio que nos rodea es una variedad diferenciable. Parece perfectamente exacto describirlo usando$\mathbb{R}^3$localmente, como probablemente lo haya hecho en la escuela. Y así es también como las variedades entran en la relatividad: si agrega la dimensión del tiempo, resulta ser una buena suposición, aún puede modelar el espacio + tiempo como una variedad de cuatro dimensiones (lo que significa que cada gráfico se ve como$\mathbb{R}^4$en la zona).

¿Por qué modelar el espacio-tiempo con variedades?

Ahora ya sabes qué es una variedad, pero incluso si tienes una idea de cómo podrías modelar el espacio-tiempo como una variedad, esto no te dice por qué deberías modelar el espacio-tiempo como una variedad. Después de todo, el hecho de que puedas hacer algo no siempre lo hace particularmente útil.

Considere el siguiente problema: dados dos puntos, ¿cuál es su distancia más corta?

[Aparte: antes de responder esta pregunta, quiero mencionar que, aunque antes hablé de cosas como distancias y ángulos, no necesariamente tienes estos conceptos en una variedad arbitraria porque podría ser imposible definir algo como esto para tu subyacente " espacio", pero si tiene una "variedad diferenciable" (lo que significa que las funciones que lo llevan de un gráfico a otro en las regiones superpuestas son diferenciables), entonces lo tiene. En ese punto, se hace posible hablar de distancias. Para la física, especialmente la relatividad general, siempre tienes una noción de distancias y ángulos.]

Volviendo al problema de la distancia más corta: En$\mathbb{R}^n$, la respuesta es bastante simple. El camino más pequeño entre dos líneas es la línea recta entre ellas. Pero en una esfera? Para definir esto, primero necesitas una distancia en la esfera. pero como hacer esto? ¡En ese momento ya sabría cuál es la distancia más corta!

Aquí hay una idea: si considera un vuelo de Londres a Buenos Aires (por ejemplo), ¿cuál es el "camino más corto"? Bueno, la tierra es más o menos una esfera en algunos$\mathbb{R}^3$. Ese es un espacio euclidiano, por lo que sabes cómo calcular las distancias allí, por lo que el camino más corto es solo la distancia más pequeña de todos los caminos posibles. Fácil. Sin embargo, hay un problema: esto solo funciona porque tenemos un espacio tridimensional ambiental. Pero ese no tiene por qué ser el caso; de hecho, nuestro propio "espacio" no parece estar incrustado en un hiperespacio dimensional de cuatro dimensiones espaciales (o como quieras llamarlo).

Aquí hay otra idea: su variedad localmente parece un espacio euclidiano donde la respuesta es simple. ¿Qué pasa si solo define su distancia localmente y luego la une de alguna manera para que tenga sentido?

Lo hermoso es que una variedad diferenciable te brinda herramientas para hacerlo. De esta forma, puede crear una medida de distancia (llamada métrica de Riemann), que le permite calcular las rutas más cortas entre puntos, incluso sin espacios ambientales. Pero no se detiene allí. ¿Qué son las rectas paralelas? ¿Qué sucede con un sistema de coordenadas local? Por ejemplo, si vuelas con tu avión, parece que siempre estás mirando hacia adelante, pero tu campo de visión no va en línea recta, ¿cómo cambia tu campo de visión al ir por un camino? Una vez que tenga su métrica, todo es sencillo.

Debe quedar claro que todas estas preguntas son preguntas que puede hacer sobre el espacio (tiempo) que lo rodea, ¡y desearía obtener la respuesta! También parece natural que en realidad deberías poder responder estas preguntas para nuestro universo.

Entonces, ¿cuál es la métrica de nuestro espacio? ¿Podemos simplemente parchearlo localmente? Bueno, podríamos, pero no va a ser único, entonces, ¿cómo decidir cuál es la métrica correcta? De eso se trata exactamente la relatividad general: las ecuaciones fundamentales de la relatividad general nos dicen cómo se relaciona la medida de la distancia en el espacio-tiempo con la materia y la energía.

Un poco más sobre topología (por si te interesa)

Finalmente, si desea obtener más información sobre el aspecto del "espacio" que omití anteriormente, echemos un vistazo más de cerca allí. Lo que desea no es un conjunto de puntos, sino un conjunto de puntos que tenga vecindades para cada punto. Puede pensar en la vecindad de un punto como una cantidad de puntos que de alguna manera están "cerca" del punto. Al igual que en la vida real, su vecindario podría ser realmente grande, podría abarcar todo el espacio, ni siquiera debe estar conectado, pero de alguna manera siempre debe comprender los puntos inmediatamente "junto a" usted. De hecho, si tiene una medida de distancia como la distancia euclidiana habitual en$\mathbb{R}^n$, entonces un conjunto de vecindades está dado por todas las bolas de todos los tamaños alrededor de cualquier punto. Sin embargo, también puede definir estos vecindarios sin tener una medida de distancia, pero aún puede pensar de alguna manera en "cercanía".

Estos espacios son suficientes para permitirle definir "funciones continuas", donde una función es continua en un punto, si todos los puntos "cerca" de este punto (es decir, en algún vecindario) permanecen "cerca" del punto después del mapeo (lo que significa que son mapeado en algún vecindario de nuevo). Por lo general, y especialmente para todas las variedades de las que realmente queremos hablar en relatividad, agregaría algunas condiciones más a los espacios para tener mejores propiedades, pero si quiere saber sobre esto, le sugiero que comience a aprender las verdaderas definiciones matemáticas. ¡Hay muchas otras respuestas que cubren lo básico!

Para presentar el concepto de una variedad uniforme, primero presentaré las variedades topológicas .

Variedad topológica

Nosotros decimos eso$M$, un espacio topológico, es también una variedad topológica si,

• Para cualquiera de los dos puntos que elijo, digamos$p,q \in M$, hay subconjuntos abiertos disjuntos$U$y$V$del espacio$M$tal que$p \in U$y$q\in V$. En otras palabras, pueden estar separados por barrios.
• Existe una base contable para la topología de$M$, lo que quiere decir que podemos construir cualquier conjunto abierto en$M$de la unión de un montón de otros conjuntos abiertos, llamados la base$B$, y que esta base es contable.
• Crucialmente, cada punto$p \in M$tiene un vecindario que es homeomorfo a un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$. En otras palabras, existe una función continua con inversa continua de esa vecindad a un conjunto abierto en$\mathbb R^n$y esto es lo que entendemos por localmente euclidiano.

Para recalcar nuevamente, podemos elegir cualquier$p\in M$y un conjunto abierto$U \subset M$que contiene$p$, y tenemos la garantía de poder construir un homeomorfismo$\psi : U \to \tilde U$dónde$\tilde U \subset \mathbb R^n$. Además, esta definición de localmente euclidiana es totalmente equivalente a poder construir un homeomorfismo a una bola abierta en$\mathbb R^n$o$\mathbb R^n$sí mismo. Los primeros dos requisitos son bastante formales, y para lo que sigue es crucial entender el tercero.

Gráficos

Para continuar con la construcción de la noción de una variedad suave, presentamos gráficos de coordenadas . En particular, un gráfico de coordenadas es un par$(U, \varphi)$dónde$U \subset M$es un conjunto abierto y$\varphi(U) \subset \mathbb R^n$es el homeomorfismo del que hablábamos, para$\mathbb R^n$.

El mapa$\varphi$es un mapa de coordenadas locales cuyos componentes son coordenadas y$U$es el vecindario de coordenadas.

Estructura suave

Para poder hacer cálculos en tal variedad, tenemos que agregarle una estructura suave. Si$(U,\varphi)$y$(V, \psi)$son dos diagramas tales que$U \cap V \neq \varnothing$, entonces el mapa

llamado mapa de transición , es un homeomorfismo. Los dos gráficos son perfectamente compatibles si este mapa de transición es un difeomorfismo, es decir, todos los componentes tienen derivadas parciales en todos los órdenes, es biyectivo y el inverso es continuo.

Podemos definir un atlas $\mathcal A$como el conjunto de cartas que cubren toda la multiplicidad, de modo que cualquier punto debe pertenecer al dominio de una de estas cartas. Observe que esto significa que no requerimos que un sistema de coordenadas cubra toda la variedad.

Puedes adivinar que ahora llamaremos$\mathcal A$un atlas suave si todas las cartas son compatibles sin problemas como se definió anteriormente.

Antes de llegar al remate, podríamos tener una variedad$M$que tiene muchos atlas suaves, por lo que en la siguiente definición, elegimos el máximo o el que es completo en el sentido de que cada gráfico que es compatible sin problemas está contenido en$\mathcal A$.

Una variedad suave es, pues, el par$(M, \mathcal A)$, y podemos definir una función$f : M \to \mathbb R^n$ser suave si$f \circ \varphi^{-1}$es suave para cada gráfico.

¿Cómo modelamos el espacio-tiempo usando variedades?

En la teoría de la relatividad general, tratamos el espacio-tiempo como una variedad de Riemann , lo que impone restricciones adicionales a la noción de una variedad uniforme.

Cada variedad de Riemann viene equipada con el tensor métrico$g_p(X,Y)$que toma dos vectores tangentes$X,Y \in T_p M$que se encuentran en el espacio tangente en el punto$p$, y nos da la noción de la longitud de un vector y el ángulo entre vectores de forma generalizada.

Las ecuaciones de campo de Einstein que relacionan la materia con la curvatura del espacio-tiempo modelado como una variedad, dependen explícitamente de esta métrica.$g$.

La variedad es un concepto matemático .

En matemáticas, una variedad es un espacio topológico que localmente se parece al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, cada punto de un$n$-variedad dimensional tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano de dimensión$n$.

Su uso permite generalizaciones a partir de los espacios euclidianos clásicos, y como la Relatividad General por construcción distorsiona el espacio y el tiempo, una variedad es la palabra adecuada para describir las "coordenadas" distorsionadas de los espacios euclidianos.

Históricamente, las variedades surgieron de la siguiente idea.

A menudo estudiamos varias superficies, como la esfera o el cilindro, colocándolas en un espacio euclidiano tridimensional y, a partir de ahí, estudiamos geometría. Sin embargo, hay rarezas:

• Las curvas en realidad no tienen ninguna forma 'interna', ¡pero hay todo tipo de curvaturas que surgen de cómo dibujamos la curva en el espacio euclidiano!
• El cilindro habitual es una superficie plana a pesar de que uno podría mirarlo ingenuamente y pensar que su forma circular significa que está curvado.
• Sabemos por la geometría esférica y la geometría hiperbólica que las formas pueden tener alguna geometría intrínseca no trivial.

Entonces, aquí hay un problema no trivial de distinguir entre qué partes de la geometría son realmente intrínsecas a la forma que estudiamos y qué partes de la geometría son extrínsecas: accidentes de cómo colocamos la forma en el espacio euclidiano.

La idea de una variedad se inventó para resolver este problema: brinda una forma útil de trabajar con formas interesantes de una manera puramente intrínseca, lo que garantiza que toda la geometría que estudiamos de esa manera sea verdaderamente intrínseca a la variedad.

La idea subyacente es cubrir la forma con tablas de coordenadas y describir la geometría usando cálculo en las tablas de coordenadas. Piensa en usar mapas para representar la superficie de la Tierra.

Ahora, para la física, los múltiples entran en juego de manera completamente opuesta. Tenemos siglos de experiencia haciendo física en lo que son básicamente gráficos de coordenadas, y sabemos que así es aproximadamente como se ve el universo en escalas suficientemente pequeñas, pero la topología a gran escala del universo bien puede ser más complicada que eso.

Ingrese manifolds, una teoría matemática prefabricada sobre cómo combinar gráficos de coordenadas para describir un espacio topológico más interesante.

Incluso si uno no está interesado en variedades más interesantes, todavía entran en juego debido a las matemáticas modernas: la geometría diferencial es el lenguaje para hacer cálculos sofisticados en el cálculo multivariable, particularmente cuando se trata de ideas geométricas, y la teoría y práctica de la geometría diferencial es generalmente desarrollado en múltiples.

La definición común de un$n$-variedad es: un espacio topológico que se asemeja al espacio euclidiano en una vecindad de cada punto (y una variedad es cualquier$n$-colector). Esto significa que si toma un punto arbitrario en la variedad, siempre existe una bola lo suficientemente pequeña alrededor del punto dentro del cual el espacio puede deformarse continuamente en un espacio plano. Un ejemplo simple es un círculo. Esto es un$1$-variedad porque si toma cualquier subespacio conexo de él, puede enderezarlo a una línea (Euclidiana$1$-espacio) aunque no puedes hacer esto con todo el círculo. Lo mismo podría decirse de cualquier curva suave simple ("simple" significa que no se corta a sí misma y "suave" significa diferenciable). De manera similar, la esfera, el toro y otras superficies lisas son$2$-colectores.

Un punto más sutil es la distinción entre una variedad y su incrustación. Un poderoso teorema de Nash muestra que para cada$n$-colector$M$, existe alguna$m\geq n$tal que$M$se incrusta en$\mathbb{R}^m$. En el sentido abstracto, uno podría parametrizar una curva de una manera que satisfaga la definición de una variedad incluso si todas sus incrustaciones en$\mathbb{R}^2$se intersecan a sí mismos (tal vez se incrusta sin intersección en$\mathbb{R}^3$). Pero una incrustación fija de una curva de autointersección técnicamente no es una variedad porque tiene un punto que parece una$+$(no$\mathbb{R}$). De manera similar, la botella de Klein se puede incrustar en$\mathbb{R}^4$como un$2$-múltiple a pesar de que sus incrustaciones en$\mathbb{R}^3$se intersecan a sí mismos.

El espacio-tiempo es$4$-dimensional. La aplicación habitual del concepto de multiplicidad encaja aquí si pensamos en la parte espacial del espacio-tiempo deformándose continuamente en el tiempo. En este modelo, en cualquier momento fijo en el tiempo, el universo se puede considerar como un$3$-variedad, pero debe satisfacer restricciones adicionales. Por un lado, asumimos que el universo es homeomorfo e isotrópico . Para otro, tal$3$-la variedad debe tener sentido como una sección transversal de la$4$-estructura dimensional.

los$3$Las variedades homeomórficas e isotrópicas bidimensionales han sido un tema muy activo de investigación matemática, debido al trabajo seminal de Bill Thurston a partir de la década de 1970. Entre estas variedades, hay una que es plana (Euclidiana$3$-espacio), uno con curvatura positiva (el$3$-esfera), y hay infinitas estructuras hiperbólicas. Algunos matemáticos creen que la porción espacial del espacio-tiempo se puede modelar con una variedad hiperbólica, aunque esto no se cree ampliamente en la física (se explica a continuación). A principios de los años 80, Jeff Weeks descubrió la hiperbólica cerrada.$3$-variedad de volumen mínimo, y algunos esperaban que este fuera un modelo para el universo, sin embargo, no cumplió con los requisitos para ser una sección transversal espacial del espacio-tiempo. Más recientemente, basándose en los datos sobre la radiación de fondo de microondas, Weeks conjeturó que el modelo correcto es el espacio dodecaédrico de Poincaré (como un$12$dado de dos caras donde cada vez que sales por una cara vuelves a entrar por otra con alguna rotación), que también es hiperbólico.

Muchos físicos creen que el universo es plano según nuestras mediciones de la curvatura de la parte observable del mismo. Sin embargo (y esta afirmación está sesgada, viniendo de mi perspectiva como matemático especializado en topología), si el universo observable es una porción relativamente pequeña del universo general, entonces la definición de una variedad nos dice que deberíamos esperar que se vea plana. independientemente de su estructura topológica real. Sigue siendo un tema de interés cuál es la topología de (la porción espacial de) el universo general en el espacio-tiempo, como una variedad.

Alternativamente, uno podría considerar el universo, con el tiempo, como un$4$-múltiples, aunque estos no se entienden tan bien. También hay teorías de dimensiones superiores del universo en la física. En matemáticas no hay limitación en$n\in\mathbb{N}$en la definición de un$n$-colector. También hay teorías bien desarrolladas de variedades de dimensión infinita (por ejemplo , variedades de Banach ), así como$n\in\mathbb{Q}^+$, es decir, variedades de dimensión fraccionaria (fractales), pero estos conceptos están menos relacionados con el modelo de espacio-tiempo.

Ha habido muy buenas respuestas, y han representado muy bien, tanto conceptualmente como con precisión, qué es una variedad, cómo se puede usar para describir un espacio inherentemente curvo y cómo surge la idea de continuidad y diferenciabilidad al unir todos. las cartas locales.

Me gustaría describir la forma en que los físicos llegaron al espacio-tiempo de 4 dimensiones. Incluir el tiempo fue fundamental y fue el punto de partida de la relatividad especial. O para decirlo de otra manera, ¿por qué tenía sentido físicamente usar una construcción geométrica, y la geometría de Riemann en particular, para modelar/describir un espacio y un tiempo dinámicos, un espacio-tiempo, de una manera consistente con la relatividad especial y con la gravedad? Puede que no sea totalmente exacto en la historia, pero está más cerca del pensamiento físico. Y explica más físicamente que las variedades, o la geometría de Riemann, es una construcción apropiada para describir el espacio-tiempo y su dinámica. No era simplemente que fuera una entidad riemanniana, sino que era una entidad dinámica viva.

Históricamente, esto surgió de manera un poco diferente en física que en matemáticas, aunque básicamente significaba lo mismo, y con las matemáticas luego se desarrolló para la geometría de Riemann, una herramienta clave para llegar a las ecuaciones y pensar en los conceptos. En física la idea de espacio-tiempo surgió por primera vez con Einstein, y era un espacio-tiempo plano (aunque el nombre de espacio-tiempo vino más tarde), con una métrica lorentziana (y plana) que era la apropiada para usar en relatividad especial. Inicialmente no se pensó que el espacio-tiempo, o más bien la compilación de las coordenadas x, y, z y t, definía de alguna manera una entidad dinámica o variable. Simplemente se pensó que cualquier observador inercial podía elegir el suyo, y teníamos las transformaciones de Lorentz.

Einstein (con la posible contribución de otros, existe cierta discusión sobre cuánto), a través de una historia que se describe en varios libros, llegó al principio de equivalencia de que una fuerza gravitatoria parecía tener el mismo efecto que simplemente estar en un marco de referencia constantemente acelerado. , y Einstein se vio obligado a considerar la geometría (pseudo) riemanniana como una forma de describir el movimiento en términos de geodésicas, y lo que se conoció como espacio-tiempo como una entidad pseudo-riemanniana de 4 dimensiones, con la física independiente de los sistemas de coordenadas elegidos. , es decir, del observador. Y al ver que en el límite del campo débil y las bajas velocidades se reducía a la gravedad newtoniana, y algunas otras cosas, obtuvo las ecuaciones de campo. Utilizó la construcción completa de la geometría de Riemann, que no era muy conocida en ese momento pero estaba allí. Lo consiguió porque necesitaba describir algo independientemente de los sistemas de coordenadas, ya fueran inerciales, acelerantes o cualquier otro. No sé si la palabra multiplicidad existía entonces. Pero la diferenciabilidad era parte de un "espacio" riemanniano.

Que la geometría sea capaz de describir la gravedad es un hallazgo bastante profundo de Einstein y algunos de sus colegas. Tenía que ver con el principio de equivalencia, que proviene esencialmente de la equivalencia de la inercia (movimiento, cambio en el espacio-tiempo) y la masa gravitacional (fuerza). Esa equivalencia no es válida para ninguna de las otras fuerzas y hasta ahora ha sido imposible unificar la teoría gravitacional de Einstein con cualquiera de las otras fuerzas.

Esta es mi opinión de los no físicos. Una variedad es un espacio curvo que es localmente plano. Piense en la superficie de la Tierra, que es una variedad bidimensional (se puede describir usando dos coordenadas: latitud y longitud). Los pequeños parches de la superficie de la Tierra se pueden describir utilizando la geometría euclidiana; las áreas más grandes no pueden ya que esta geometría se rompe.

En el contexto de la relatividad, la variedad (a) tiene cuatro dimensiones (tres de espacio y una de tiempo) y se llama espaciotiempo; (b) es diferenciable; y (c) se describe mediante una función llamada métrica que da la diferencia de tiempo y la distancia entre puntos infinitesimalmente cercanos. Diferentes sistemas de coordenadas tienen diferentes métricas que describen la misma distancia entre puntos infinitesimalmente cercanos. Usando la métrica, puede construir un tensor de cuatro índices llamado tensor de curvatura de Riemann. Si y solo si ese tensor es cero, el espacio en ese punto es plano, de lo contrario, es curvo.

La relatividad especial se ocupa del espacio-tiempo plano (llamado espacio-tiempo de Minkowski), es decir, se ocupa de situaciones en las que los efectos de la gravedad son insignificantes. Curvas masa-energía espacio-tiempo. Los cuerpos libres o los rayos de luz seguirán el camino más corto (también conocido como geodésico) entre dos puntos en el espacio-tiempo. Para calcular esa ruta, necesita conocer la métrica. Las dos métricas más comunes son la métrica de Minkowski (que describe el espacio-tiempo plano) y la métrica de Schwarzschild (que describe el espacio-tiempo alrededor de un objeto esféricamente simétrico como nuestro Sol).

Ya hay varias buenas respuestas. Así que intentaré escribir una respuesta breve que solo responda la pregunta sin discusiones detalladas.

Después de la invención de la Relatividad Especial, Einstein intentó inventar una teoría de la gravedad invariante de Lorentz, pero sin éxito. En última instancia, el problema se resolvió reemplazando el espacio-tiempo de Minkowski por un espacio-tiempo curvo, es decir, mediante la geometrización de la gravedad. En un espacio-tiempo curvo, la energía y el impulso generan (y reaccionan) la curvatura.

Una variedad es uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas, en particular de la geometría. Todos somos conscientes del espacio euclidiano n-dimensional$\mathbb{R}^n$y el conjunto de n-tuplas$(x^1,x^2,...,x^n)$. La noción de variedad captura la idea de un espacio que puede ser curvo y puede tener una topología complicada, pero que se asemeja a la topología de$\mathbb{R}^n$en las regiones locales. Todo el colector se construye cosiendo suavemente estas regiones locales.

Por lo tanto, la estructura múltiple proporciona un entorno natural sobre el cual se puede construir la teoría de la gravedad basada en el Principio de Equivalencia de Einstein: el espacio-tiempo curvo se parece localmente a un espacio-tiempo plano donde las leyes de la Relatividad Especial son válidas.

Una variedad se define en varios pasos:

1. Es un espacio topológico que es Hausdorff y segundo contable. Esto suena técnico y lo es. Pero lo que significa es que el espacio es continuo, que cuando enfocamos un punto lo que vemos es exactamente un punto y no varios puntos juntos (o incluso muy separados) y que excluimos ciertos espacios muy grandes - por ejemplo , la línea larga que es mucho, mucho más larga que nuestro universo y cualquier universo concebible.

2. Eso es topológicamente hablando, localmente euclidiano. Esto significa que cuando nos enfocamos en áreas pequeñas, estas parecen espacios afines.

Esta es la definición de una variedad topológica. Vale la pena señalar que podemos sumar variedades: esta es la suma disjunta. Entonces, por ejemplo, al sumar dos esferas, obtenemos exactamente un espacio que consta de dos esferas. También podemos multiplicar variedades: un lima multiplicado por un círculo da un cilindro mientras que un círculo multiplicado por otro círculo da un toro. Por lo tanto, tenemos una cierta aritmética de variedades.

Por lo general, en física, especialmente después del descubrimiento del cálculo de Newton, pedimos suavidad.

Primero notamos que las variedades tienen un atlas de cartas, esto viene de la segunda condición. Y, por lo tanto, tenemos cambios en los gráficos donde los gráficos se superponen. Estos se llaman mapas de transición. Estos, por definición, son continuos, ya que definimos todo en términos topológicos.

3. Una variedad suave es una variedad topológica donde todos los mapas de transición son suaves.

De manera similar o por estructura extra podemos definir muchas otras variedades tales como variedades complejas, variedades paracomplejas, variedades de Riemann, etc. Hay todo un bestiario de ellas...

El espacio-tiempo se modela como una variedad de Riemann. Esto simplemente significa que localmente tenemos una métrica y localmente podemos medir ángulos y distancias. Fue Minkowski quien sugirió por primera vez que el espacio-tiempo se pensaba mejor de esta manera después de que Einstein soñó con la relatividad especial. Aunque Einstein no tomó esto al principio, se basó en él para desarrollar la Relatividad General.

A menudo, esta geometría está oculta en el lenguaje habitual de los físicos. Por ejemplo, un vector contravariante en un punto se define por sus propiedades de transformación allí. En el lenguaje geométrico, esto es exactamente un vector tangente en ese punto del espacio-tiempo. Esta es una noción invariable.

En nuestro propio espacio plano, se cierra un paralelogramo. En el espacio curvo esto ya no tiene por qué ser así y hay un defecto que se mide por la curvatura. Podemos darle la vuelta a esto y medir la curvatura por cómo los paralelogramos no se cierran (o se cierran).

Riemann en realidad especuló que la métrica del espacio y el tiempo podría variar en pequeñas escalas. Un cuadro que está elaborado en espuma espacial de Wheelers. Fue Clifford, quien habiendo leído la tesis de Riemann, especuló que todas las fuerzas, que en su época serían la gravedad y el electromagnetismo, eran reducibles a cambios en la métrica y por tanto relacionadas con la curvatura. Su audaz hipótesis resultó ser completamente correcta como lo verificó espectacularmente Einstein en el caso de GR y menos espectacularmente por una gran cantidad de teóricos del electromagnetismo y las fuerzas débil y fuerte.