¿Qué es un análogo al espacio de Hilbert de QM en GR?

Interpreté tu pregunta de manera diferente, más como una pregunta de matemáticas.

En Mecánica Cuántica, básicamente tenemos una ecuación, la ecuación de Schrödinger, que es una ecuación diferencial en el espacio de funciones valuadas complejas integrables en cuadrados. Este espacio es un espacio de Hilbert, lo que significa que es un espacio vectorial, y también tiene una buena estructura topológica, básicamente todas las secuencias de vectores de Cauchy convergen en ese espacio.

En la mecánica newtoniana, las ecuaciones se definen en el espacio de fase, que es básicamente un$6N$-espacio dimensional,$N$es el número total de partículas, en el que las coordenadas de un punto consisten en las posiciones y momentos de cada partícula que desea describir. La solución de las ecuaciones induce un flujo en este espacio de fases. La estructura del espacio de fases suele ser la de una variedad simpléctica .

En la Relatividad General, las ecuaciones son las ecuaciones de campo de Einstein. Vinculan el tensor de Riemann con el tensor de energía-momento. Son difíciles de resolver en el sentido de que no son lineales y hay que especificar un tensor de energía-momento, pero este tensor también dependerá de la geometría del espacio-tiempo, por lo tanto, el tensor de Riemann. Así que tienes que resolver de una sola vez la geometría y la distribución de energía y materia. En la práctica, se harán muchas suposiciones simplificadoras. Pero el "espacio" de soluciones es el espacio de geometrías y distribuciones de materia-energía compatibles con las ecuaciones de campo.

Primero, asumiré que estás hablando de cuantización. Para entender cómo cuantificar GR es absolutamente necesario dar cuenta (aunque sea incompleta) del enfoque utilizado para cuantificar sistemas más simples.

Mecanica clasica

Este es un procedimiento mediante el cual se transfiere desde el punto de vista clásico (mecánica newtoniana o, de manera equivalente, mecánica lagrangiana o hamiltoniana) al punto de vista cuántico. Ahora, hay algunas prescripciones generales sobre cómo se pueden cuantificar los sistemas mecánicos clásicos. La más común es que se reemplace el espacio fase por el espacio de Hilbert, las funciones sobre el espacio fase por operadores sobre el espacio de Hilbert y el corchete de funciones de Poisson por el conmutador de los operadores.

Teoría de campos

El párrafo anterior solo se ocupaba de la mecánica, es decir, del caso en el que solo hay unos pocos grados de libertad. Pero GR es una teoría de campo (de campo gravitacional) y es en realidad una especie de teoría de calibre (pero un poco especial). Uno tiene que aprender primero a cuantificar los campos clásicos y luego medir los campos. Para hacer eso, puede reemplazar el espacio de fase (de dimensión infinita) del campo por un espacio de Hilbert (muy grande) y producir un análogo de los corchetes de Poisson llamado corchete de Dirac que luego reemplaza por conmutadores.

(El segundo enfoque muy común para la cuantización es a través de la ruta integral para la cual no necesita ningún operador, pero no daré más detalles sobre eso aquí porque es un área enorme que nos alejaría mucho del tema de su pregunta)

Luego, para cuantificar una teoría de calibre con su propia gran simetría de calibre, uno tiene que llevar a cabo una discusión muy no trivial sobre la estructura de estos corchetes de Dirac.

(También existen otros enfoques para esto, pero ninguno de ellos es particularmente fácil para un principiante. Si está interesado, vea los fantasmas de Faddeev-Popov en la cuantificación de calibre integral de ruta y la cuantificación BRST )

Gravitación

Ahora, la cuestión es que GR (como teoría de campo) es difícil de cuantificar. Es decir, si repite el enfoque anterior para GR, descubrirá que su teoría cuántica no tiene sentido (porque no es renormalizable ).

Esto sugiere que se necesita algo más que un enfoque ingenuo. Y en realidad hay muchos de ellos. Por un lado, uno puede cuantizar la gravedad en ciertas dimensiones especiales (como 2+1) si uno generaliza un poco GR (esto fue hecho por Witten en los años 80). También hay varias reformulaciones que relacionan la gravedad cuántica y QFT (como la correspondencia AdS/CFT ). También existe la teoría de cuerdas de matriz que muestra la dualidad entre la mecánica cuántica de matriz y GR (como me señaló Matt en esta pregunta mía ).

En resumen, la cuantificación de GR es muy difícil. Hay muchas teorías y hasta el momento no hay evidencia experimental que nos permita saber cuál es la correcta.