¿Podemos aplicar la ecuación de Schrödinger en el potencial gravitacional de Newton y derivar la gravitación determinista de Newton como un caso especial de ella?

Me gustaría agregar algunos detalles a la respuesta de @Ben Crowell con respecto a los neutrones que rebotan. Creo que este gran experimento merece más atención.

La ecuación de Schrödinger funciona cuando el origen de la energía potencial es gravitacional. Al menos, en el límite newtoniano.

Este es un experimento real que se ha realizado y demuestra que la mecánica cuántica funciona en un campo gravitatorio, es decir, el potencial gravitacional de Newton (junto con algunas condiciones de contorno) cuantifica la energía de los neutrones.

Un haz de neutrones fríos (con velocidades$\sim 10$m/s) entran en una cavidad, con un espejo de neutrones en la parte inferior y un absorbedor de neutrones en la parte superior. El haz de neutrones vuela con una componente de velocidad horizontal constante a través de la cavidad. Todos los neutrones que alcanzan la superficie superior son absorbidos y desaparecen del experimento. Los que alcanzan la superficie inferior se reflejan elásticamente. El detector cuenta la tasa de transmisión, es decir, el número total de neutrones que llegan al detector por unidad de tiempo.

Entonces, se puede observar que la parte vertical del movimiento y la energía de los neutrones está cuantizada debido al campo gravitatorio de la Tierra.

(De Nature (Volumen 415 página 299) copyright 2002 Macmillan Publishers Ltd)

La línea sólida es la expectativa clásica, que no se ajusta al resultado experimental (excepto para alturas suficientemente altas). Es fácil ver que la predicción clásica es$N\sim H^{3/2}$($N$es el número de neutrones que llegan al detector y$H$es la altura de la cavidad):

La tasa de neutrones que entran en la cavidad a la altura.$y$(OY es el eje vertical, mientras que OX es el horizontal) y llegan al detector es proporcional al rango de velocidades verticales permitidas, es decir, aquellas que no tocan el absorbedor (suponemos que la longitud de la cavidad es suficientemente larga , de modo que todos los neutrones que pueden ser absorbidos son realmente absorbidos).

$$dN/dy\propto \delta v_y\,$$

Este rango ($\delta v_y$) viene dada por la conservación de la energía (la energía mínima — potencial más cinética (nótese que la velocidad horizontal es constante) — en el absorbedor es$mgH+{m\over 2}\,v_x^2$):

$$mgH+{m\over 2}\,v_x^2\,>\,mgy+{m\over 2}\,(v_x^2+v_y^2)\implies -\sqrt{2g(H-y)}<v_y(y)<\sqrt{2g(H-y)}\\ \implies \delta v_y(y)=2\sqrt{2g(H-y)}$$

Por lo tanto el resultado clásico es:

$$N\propto\int_0^H \delta v_y(y)\,dy\propto \int_0^H 2\sqrt{2g(H-y)} \,dy\propto H^{3/2}\;.$$

Los niveles cuánticos observados vienen dados por la ecuación de Schrödinger con una energía potencial lineal$U(y)=mgy$para$y$Más bajo que$H$y$U(y)=\infty$para$y$más alto que$H$, dónde$m$es la masa del neutrón,$g\approx 9.8$EM$^2$el campo gravitatorio en la superficie de la Tierra,$y$la coordenada vertical y$H$la altura del absorbedor. Sin embargo, una cuantificación semiclásica de Bohr-Sommerfeld (que es un límite semiclásico de la cuantificación de Schrödinger/Heisenberg) proporciona una buena estimación:

$$S\equiv\int p(y)\,dy=n\, h\,,$$ con $p(y)$la componente vertical del momento del neutrón, $n$un número cuántico y $h$la constante de Planck. Desde $$S={4\over 3}\sqrt{2g}\,m\,H^{3/2}$$ y $E_n=mgH_n$, Se obtiene $$E_n^{\,3}\propto m\,g^2\,h^2\,n^2\,$$ es decir, la energía gravitatoria de los neutrones está cuantificada. orden o magnitud $E_1\sim 10^{-12}$eV.

Tenga en cuenta que esto no implica una cuantización del campo gravitacional. Es solo una partícula cuántica en un potencial gravitatorio clásico, externo y débil.

Referencias: VV Nesvizhevsky et al., Nature 415 (2002) 297; física Rev. D67 (2003) 102002.

Michael Brown el 30 de julio de 2013:

Estuvo de acuerdo en que GRANIT merece más atención. Están actualizando (o lo han hecho, no estoy seguro de en qué etapa se encuentran en este momento) el experimento para que ya no funcione en el modo de "flujo continuo" que describe. En su lugar, atraparán neutrones en un pozo y medirán los niveles de energía directamente mediante espectroscopia de resonancia. ¡Sorprendentemente, las transiciones están en el rango de frecuencia de audio con energías del orden de pico-eV!

Buscar en Google GRANIT debería mostrar los últimos detalles. –

Por lo tanto, ¿se puede crear una configuración similar a la de un átomo de hidrógeno pero con masas puntuales (en lugar de cargas puntuales) en el campo gravitatorio de Newton en lugar de partículas cargadas como electrones en el campo de Colomb?

Sí, en teoría esto se puede hacer con dos partículas eléctricamente neutras cualesquiera. Ver Floratos 2010. En la práctica, los tipos de experimentos que la gente ha hecho han sido para demostrar los estados cuantificados de un neutrón que rebota en un campo uniforme. (Esto se describe brevemente en Floratos.)

Y en esta configuración, con el límite de hacer que algún parámetro apropiado vaya a cero/infty, ¿podemos mostrar que la ley determinista de la gravitación de Newton emerge de ella?

Hay un límite clásico, que se puede realizar, por ejemplo, con superposiciones coherentes de estados que tienen un número cuántico principal muy alto$n$. El límite clásico no significa recuperar la ley de la gravedad de Newton, que es lo que pones en el cálculo. El límite clásico es aquel en el que la partícula sigue la segunda ley de Newton.

Por último, pero no menos importante, si no es por la gravitación clásica, ¿podemos hacer esto por la gravitación relativista (GR)?

No. En GR, la gravedad se describe mediante un campo que se propaga, no mediante una ley de fuerza como la ley de gravedad de Newton.

Floratos, http://arxiv.org/abs/1008.0765

Mi pregunta: en el caso anterior, el potencial utilizado es el potencial de Colomb, que es matemáticamente lo mismo que el potencial gravitacional. Por lo tanto, ¿se puede crear una configuración similar a la de un átomo de hidrógeno pero con masas puntuales (en lugar de cargas puntuales) en el campo gravitatorio de Newton en lugar de partículas cargadas como electrones en el campo de Colomb?

Podríamos, usando las constantes gravitatorias, en un mundo hipotético donde estas partículas puntuales no tengan otras interacciones. El potencial gravitatorio es muy débil; con respecto a la electromagnética y las otras fuerzas :

Constantes de acoplamiento

Fuerte 1

Electromagnético 1/137

Débil 10^-6

Gravedad 10^-39

Entonces, aunque matemáticamente uno podría describir este "átomo" sustituyendo las constantes apropiadas, las unidades están fuera de nuestro mundo real y esta es la segunda razón por la cual tales "átomos" son imposibles. La primera razón es que todas las partículas de nuestro mundo tienen otras interacciones además de la gravitatoria.

Se puede encontrar un cálculo aquí , tomando como prototipo el átomo de hidrógeno con una fuerza gravitacional.

Según la física anterior al SSCP, se puede calcular cuál sería el radio del átomo de hidrógeno si el átomo estuviera gobernado por la interacción gravitatoria convencional entre el protón y el electrón. Este radio se denomina Radio Gravitacional de Bohr (R) y puede determinarse mediante:

R = ħ2/Gm2M (1)

donde ħ es la constante de Planck dividida por 2π, G es el factor de acoplamiento gravitatorio, m es la masa del electrón y M es la masa del protón. El cálculo convencional de R, usando 6,67 x 10-8 cm3/g seg2 como el valor apropiado para G, produce

R = 1,20 x 10^31 cm.

Este radio es mayor que el radio del universo observable. Es claramente un valor ridículamente grande y generalmente se cita como una prueba irrefutable de que los sistemas de escala atómica están ligados principalmente por interacciones electrostáticas en lugar de gravitatorias.

El autor tiene una serie de artículos en los que modifica G, pero no es una ruta convencional.

(especulación lateral: es intrigante preguntarse si las partículas de materia oscura solo tienen interacciones gravitatorias, si en las enormes distancias del universo tales enlaces podrían ocurrir, por supuesto, las masas involucradas deberían ser mucho más grandes que las del protón y el electrón, del cálculo anterior).

Y en esta configuración, con el límite de hacer que algún parámetro apropiado vaya a cero/infty, ¿podemos mostrar que la ley determinista de la gravitación de Newton emerge de ella?

Pero ya has insertado la ley de Newton en la ecuación y es una tautología, igual que la ley de Coulomb que sale macroscópicamente. Se aplica el enlace de @MichaelBrown sobre el principio de correspondencia.

Por último, pero no menos importante, si no es por la gravitación clásica, ¿podemos hacer esto por la gravitación relativista (GR)?

Como la Relatividad General aún no se ha cuantificado de manera rigurosa, es una pregunta discutible, pero nuevamente se debe aplicar el principio de equivalencia.

Supongo que este es el tema principal de la investigación en gravedad cuántica. Por favor, corríjame si estoy equivocado.

No. El tema principal de la investigación en gravedad cuántica es cómo cuantizar rigurosamente la Relatividad General clásica y conectarla con el Modelo Estándar de física de partículas, que encapsula todos los datos de física de partículas hasta ahora.