Unificación de la teoría electrodébil

De hecho, es posible romper$SU(3)$a$SU(2) \times U(1)$. Para ver eso tenemos que comprobar que$SU(2)$y$U(1)$son subgrupos de$SU(3)$. Es fácil ver que$SU(2)$es un subgrupo ya que las tres primeras matrices de Gell-mann están dadas por,

$$\begin{equation} \lambda _i = \left( \begin{array}{cc} \sigma _i & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \quad (i = 1 ,2,3) \end{equation}$$ y dado que estas son solo las matrices de Pauli, sabemos que forman un grupo. Además, también es bien conocido que existe otra matriz de Gell-mann que conmuta con estos $3$, $$\begin{equation} \lambda _8 \equiv \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array} \right) \end{equation}$$

Romper$SU(3)$en este subgrupo se necesita usar un escalar en la representación adjunta (matriz). Esta elección funcionará siempre que el VEV del escalar conmute con los subgrupos. Para ver por qué esto se considera el término cinético para el escalar,

$$\begin{equation} \mbox{Tr} D ^\mu \Phi ^\dagger D _\mu \Phi = \mbox{Tr} [ \Phi , T ^a ] [ \Phi , T ^b ] A _\mu ^a A ^{ b , \mu } + ... \end{equation}$$ donde desde $\Phi$está en la representación adjunta que tenemos, $D _\mu \Phi = \partial _\mu \Phi - i A ^a _\mu \left[ \Phi , T ^a \right]$( $T ^a$son los generadores del grupo y $A ^a$es el campo vectorial). Vemos que si $\Phi$gana un VEV la condición de que el campo vectorial, $A _\mu ^a$permanecer sin masa es que $T ^a$viajar con el VEV. Si un bosón de calibre permanece sin masa, su simetría de calibre se conserva.

Con esto en mente, todo lo que tenemos que hacer es elegir un VEV para el escalar que viaja con nuestro subgrupo. Este será el caso del VEV,

$$\begin{equation} \left\langle \Phi \right\rangle = v \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array} \right) \end{equation}$$

Tenga en cuenta que mientras uno puede producir el$SU(3) \rightarrow SU(2) \times U(1)$patrón de esta manera, esto es insuficiente para reproducir la fenomenología del SM. Para hacer eso, uno necesitaría encajar el SM en multipletes de$SU(3)$que no podrías hacer sin introducir nuevos campos. Para más discusión sobre este punto o cualquiera de los anteriores, le animo a mirar un tratamiento de gran unificación.