Creo que este problema se puede abordar utilizando coordenadas polares. La ecuación de una cónica en estas coordenadas es:

$$r(\theta) = \frac{r_0}{1+e \cos (\theta + \phi)},$$

dónde$r$es la distancia a uno de los focos de la elipse (el centro de masa del sistema, o el centro de la estrella si es mucho más masivo que el objeto en órbita),$e$es la excentricidad y$\theta$se elige por ejemplo para que$\theta = 0$para su posición inicial (no necesariamente uno de los ejes de la elipse). Para$e < 1$, la trayectoria es cerrada y corresponde a una elipse. Cuando$e \geq 1$, el planeta se escapa al infinito (parábola o hipérbole), pero creo que se cumple lo siguiente (solo hay que tener cuidado con lo permitido$\theta$'s).

Ahora lo que debe hacer es convertir su "objetivo" de$x$,$y$coordenadas a$r_{\mathrm{target}}$,$\theta_{\mathrm{target}}$. Entonces necesitas encontrar la relación entre tu ángulo inicial$\alpha$(fijo), velocidad inicial$v_0$con$r_0$,$e$y$\phi$. No he resuelto los detalles, pero supongo que esto se puede hacer usando la definición de excentricidad y funciones trigonométricas inversas. Intentaré investigarlo. Ahora que tienes$r_0(\alpha, v_0)$,$e(\alpha, v_0)$y$\phi(\alpha, v_0)$, puedes simplemente inyectar en la ecuación de elipse y mirar$\theta = \theta_{\mathrm{target}}$. Usted necesita que

$$r_{\mathrm{target}} = r(\alpha, v_0, \theta = \theta_{\mathrm{target}}) = \frac{r_0(\alpha, v_0)}{1 + e(\alpha, v_0) \cos(\theta_{\mathrm{target}} + \phi(\alpha, v_0))}.$$

No sé si esta es la forma más fácil de hacerlo, pero creo que se puede hacer de todos modos.

Si quieres comprobar si existe una solución , debes preguntarte qué sucede si, dado un ángulo, aumentas progresivamente la velocidad. Para velocidades bajas, efectivamente caes rápidamente hacia la estrella. Para una velocidad muy grande, pasas por una elipse cada vez más alargada. Si va más allá de la velocidad de escape, ya no seguirá una trayectoria cerrada sino que escapará al infinito (parábola o hipérbole). Si tu velocidad se vuelve infinita, básicamente vas en línea recta. Para todas las velocidades intermedias, básicamente abarcas todo el semiplano separado por una línea recta que pasa por tu posición inicial y es paralela a tu velocidad inicial, y contiene la estrella.

En la imagen de arriba, la parte verde del avión son las posiciones accesibles. Verá, por ejemplo, que si quisiera alcanzar el objetivo que se muestra aquí, necesitaría una velocidad$v_0$entre el representado en azul (elipse) y el representado en rojo (hipérbole). La parte roja de la imagen, por otro lado, corresponde a los puntos a los que no se puede acceder utilizando este valor de$\alpha$.

Si encuentra una solución y desea verificar si atravesaría o no la estrella en algún punto, solo necesita verificar si la distancia mínima que es$r_0/(1+e)$es mayor o menor que el radio de la estrella (asumiendo que la estrella es muy masiva y los focos de la elipse se fusionan con el centro de la estrella).

¡Espero que esto ayude!

Cálculos preliminares:

la excentricidad se define como:

$$e = \sqrt{1 + \frac{2 \varepsilon h^{2}}{\mu^2}},$$

dónde$\varepsilon$es la energía orbital específica (energía total dividida por la masa reducida),$\mu$el parámetro gravitatorio estándar basado en la masa total, y$h$el momento angular relativo específico (momento angular dividido por la masa reducida) (-> https://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_eccentricity ).

Suponiendo una gran masa estelar, de modo que la masa reducida$\mu$es solo la masa del planeta$m$y la masa total es aproximadamente la masa de la estrella$M$, tu encuentras:

$$e = \sqrt{1 + \frac{2 (v_0^2 - \frac{2GM}{d}) d^2 v_0^2 \cos^2 (\alpha)}{G^2 M^2}},$$

dónde$d$es la distancia de la estrella al planeta inicialmente, y$\alpha$se define de modo que$\alpha = 0$si la velocidad es inicialmente puramente radial. Por cierto, esto te da una ecuación de segundo orden en$v_0^2$, que te permite invertirlo (aunque no estoy seguro si quieres invertir la ecuación en este punto...).

Entonces, para encontrar$\phi$, puede usar el vector Laplace-Runge-Lenz ( https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2%80%93Runge%E2%80%93Lenz_vector ), definido como$\overrightarrow{A} = \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{L} - GMm^2 \overrightarrow{e_r}$, que indica la dirección en la que$\theta + \phi = 0$. Si elige que su eje x se alinee con su posición inicial, encontrará que$\overrightarrow{A} = m^2 v_0^2 d (\cos^2(\alpha) \overrightarrow{e_x} + \cos(\alpha) \sin(\alpha) \overrightarrow{e_y}) - GMm^2 \overrightarrow{e_x}$(por favor revise de nuevo). De esto deberías poder encontrar$\phi$y luego$r_0$. ¡Buena suerte!

Creo que el problema con el que te encuentras aquí es que no hay un solo vector que describa la ruta de inercia entre diferentes puntos en el espacio, sino infinitos. La razón de esto es que puede acercarse a este punto en cualquier momento que desee.

Para simplificar, considere el caso de una pelota de béisbol que desea lanzar desde el punto A al B en un campo gravitacional linealmente uniforme. No nos importa la velocidad que tiene cuando llega al punto B, o la hora a la que llega allí, solo que aparece allí en algún momento.

En un escenario, podríamos lanzar la pelota de béisbol muy alto en el aire, de modo que alcanzara una altura máxima casi a mitad de camino entre el lanzador y el punto que queremos golpear, y cruzaría ese punto varios segundos después, moviéndose casi en línea recta hacia abajo.

También podríamos disparar la bola como una bala, usando un ángulo de lanzamiento muy bajo donde la altura máxima de la bola se alcanzaría mucho después de que la bola cruzara el punto que pretendíamos, de modo que la bola cruzaría ese punto con su vector de movimiento apuntando casi completamente a lo largo de la horizontal.

Entre estos extremos, podríamos lanzar la pelota con cualquier ángulo, suponiendo que usamos exactamente la velocidad correcta para que cruce el punto deseado.

Entonces, creo que su enfoque debería ser buscar una ecuación que relacione el ángulo y la velocidad que debe tener el planeta para alcanzar el punto deseado.