¿Qué es el espacio de fase discreto?

Responderé mi propia pregunta y espero que esta información sea útil para alguien. tomaré$\hbar = 1$y tratará con sistemas de un grado de libertad (la generalización debería ser obvia). Los factores de normalización son muy confusos, por lo que omitiré la mayoría de las razones por las que son lo que son.

Primero, echemos un vistazo a la buena y antigua función continua de Wigner. Hay muchas formas de definirlo. Describiré dos.

Función de Wigner como coeficientes en una expansión en términos de operadores de Weyl-Heisenberg

Considere el operador$\hat{T}_{(a,b)} = e^{-i(a\hat{p} - b\hat{q})}$. Este operador es el generador de traslaciones en posición por$b$y en impulso por$a$. Estamos, por lo tanto, tratando con un formalismo que pone las posiciones y los momentos en el mismo terreno (decimos que estamos tratando con la mecánica cuántica en el espacio de fases). Asociado a los operadores de traducción podemos definir otro operador como su transformada de Fourier simpléctica, es decir ,$\hat{R}_{(q,p)} = \frac{1}{2\pi} \int e^{-i(ap - bq)} \hat{T}_{(a,b)}$. Se puede demostrar que estos operadores forman una representación del grupo de reflexiones y traslaciones en un espacio de fase bidimensional. También podemos mostrar que estos operadores son ortonormales con respecto a la métrica de Hilbert-Schmidt,

Esto significa que podemos expandir cualquier operador que actúe en nuestro espacio de Hilbert en una reflexión (o base de traducción). En la expansión de la matriz de densidad como una combinación lineal continua de reflexiones,

los coeficientes se definen como la función de Wigner asociada al sistema. Tal ecuación se puede invertir para darnos explícitamente

Función de Wigner a partir de propiedades de proyección

Digamos que creamos una función a partir de la matriz de densidad.

y que deseamos que este operador tenga la siguiente propiedad: la integral de$W$sobre la franja de espacio de fase limitada por las líneas paralelas$aq + bp = c_1$y$aq + bp = c_2$es la probabilidad de que el operador$a\hat{q} + b\hat{p}$tomará un valor entre$c_1$y$c_2$. Esto, por sí solo, es suficiente para definir el operador$\hat{R}$y corrija la forma de la función de Wigner (solo necesita invertir una transformación de Radon para obtenerla).

Ahora, volvamos al espacio de fase discreto. Después de leer muchos artículos sobre el tema, noté que lo que hacen es definir la función de Wigner como coeficientes o siguiendo la propiedad de proyección. Pero, dado que están tratando de definir una distribución de cuasi probabilidad para un sistema con grados de libertad discretos (principalmente espín), el "espacio de fase" debe ser discreto. En realidad, más que discreto, debe ser un toro, porque el sistema tiene solo un número finito de estados accesibles (al contrario del caso continuo, donde había infinitos estados accesibles). La cuestión aquí es que lo que debe hacer es crear operadores de reflexión en este conjunto discreto o asociar un estado propio de algún observable con líneas en el espacio de fase y usarlo como guía para crear un objeto similar a una función de Wigner, para imitar el caso continuo. Sin embargo, está tratando de asociar una red de puntos con estados. Esto es muy diferente del caso continuo, donde se partía de un espacio de fases en el sentido de la mecánica clásica ($q$y$p$y etc).

Entonces, mi conclusión es la siguiente: los "espacios de fase discretos" que aparecen en la formulación de la función de Wigner de la mecánica cuántica de estado finito no tienen nada que ver con la mecánica cuántica en el espacio de fase. Estas funciones extrañas y no únicas de Wigner no son más que una forma eficiente de realizar una tomografía de estado. La pregunta sobre la posibilidad de discretización del espacio de fase perdió su significado y debería ser olvidada. No obstante, seguiré centrándome en el problema de la compactación de fibras cotangentes.

Ahora, dos puntos de vista eran muy interesantes. El primero trata de crear realmente una estructura de cociente de grupo en un espacio de fase clásico proyectando la representación de Wigner desde el plano hasta el toro. Por un resultado principal en la teoría espectral de operadores compactos, al compactar el dominio de los elementos del espacio de Banach se define el operador sobre los resultados en la contabilidad de su espectro. Esto significa que proyectar la función de Wigner desde el plano a cualquier dominio compacto (el toro es el caso más importante) hará que los operadores que actúan en el espacio de Hilbert discreticen sus espectros. Esto significa que, de hecho, podemos encontrar el análogo discreto de la función de Wigner a través del formalismo del espacio de fase, pero esto solo tiene sentido cuando estamos midiendo sistemas donde la posición y el momento son discretos. Los espines y los momentos angulares aún necesitan las funciones artificiales similares a Wigner comentadas anteriormente. (El artículo que desarrolla esto es Annals of Physics 276, 223-256 (1999).)

El segundo punto de vista que fue realmente interesante se ocupa de los problemas relacionados con la dimensión de nuestro espacio de estado. Dado que la dimensión es finita, necesitamos un campo finito para dar sentido matemático a, por ejemplo, foliaciones de redes de dimensión finita (si no estuviéramos en un campo, dos líneas no paralelas se cruzarían en más de un punto) . Ahora, los campos finitos solo son posibles cuando el conjunto cociente se toma como$mod p$, dónde$p$es un primo. Para tratar con sistemas cuyos grados de libertad no siguen la condición prima, los autores leyeron un poco sobre la teoría de Galois y agregaron puntos dentro del espacio de estado sin cambiar la base del grupo modular. Esta fue una de las aplicaciones más lindas de la teoría de Galois en la física aplicada que he visto. (El artículo que trata sobre esto es Physical Review A 70, 062101 (2004).)

Lo siento por la larga respuesta. Espero que sea útil para alguien.