¿Son lo mismo: la distribución de Wigner en la ecuación cuántica de Boltzmann y la función de Wigner en la óptica cuántica?

Yo diría que no son del todo iguales, pero depende del contexto. Primero las definiciones:

• la transformada de Wigner de un operador$\hat{A}$Se define como

  $$\tilde{W}\left[\hat{A}\right]=\int dz\left[e^{\mathbf{i}pz/\hbar}\left\langle x-z/2\right|\hat{A}\left|x+z/2\right\rangle \right]$$ y esta es una función extraña. Verá que a la izquierda, el operador se proyecta en una representación del espacio real, luego se transforma Fourier. Puede encontrar más detalles (especialmente el vínculo con la transformada de Weyl) en la maravillosa revisión de Hillery, M., O'Connel, RF, Scully, MO y Wigner, EP Funciones de distribución en física: Fundamentos , Phys. Rep. 106, 121–167 (1984) que lamentablemente está más allá de un muro de pago.

• la transformada de Wigner del operador de densidad$\hat{\rho}=\left|\Psi\right\rangle \left\langle \Psi\right|$se define entonces naturalmente como la transformada de Wigner

  $$W\left(p,x\right)=\int dz\left[e^{\mathbf{i}pz/\hbar}\left\langle x-z/2\right|\hat{\rho}\left|x+z/2\right\rangle \right]$$ y se acuña función de Wigner en ese contexto.

• la función de Green no es un operador, es una función de correlación, definida como$G\left(x_{1},x_{2}\right)=\left\langle \hat{T}\left[\hat{a}\left(x_{1}\right)\hat{a}^{\dagger}\left(x_{2}\right)\right]\right\rangle$dónde$\hat{T}$es el operador que ordena el tiempo,$\hat{a}$es el operador de destrucción (fermiónico o bosónico), y$\left\langle \cdots\right\rangle$representa el proceso de promedio: podría ser$\left\langle \cdots\right\rangle =\left\langle N\right|\cdots\left|N\right\rangle$si está trabajando con estados numéricos$\left|N\right\rangle$, o$\left\langle \cdots\right\rangle =\text{Tr}\left\{ e^{-\beta H}\cdots\right\} /\text{Tr}\left\{ e^{-\beta H}\right\}$si está trabajando con un promedio térmico ($\beta=\left(k_{B}T\right)^{-1}$es una temperatura inversa en ese caso), ... Tenga en cuenta que hay otras convenciones para las funciones de Green, pero no importa aquí. La transformada de Fourier de la función de Green dice

  $$G\left(p,x\right)=\int dz\left[e^{\mathbf{i}pz/\hbar}G\left(x-z/2,x+z/2\right)\right]$$ y parece una transformada de Wigner de la función de Green, pero debería ser más apropiado llamarla transformada de Fourier de la función de Green cuando elige$x_{1,2}=x\mp z/2$para los componentes. En la teoría de la materia condensada,$G\left(p,x\right)$a menudo se denomina función de Green de Fourier mixta (la transformada de Fourier completa habría dado$G\left(p_{1},p_{2}\right)$en su lugar) o una función de Green cuasi-clásica por la razón por venir.

en el limite$\hbar/\tilde{p}\tilde{x}\ll1$(llamado límite cuasi-clásico), con$\tilde{p}\tilde{x}$la exploración del espacio de fase del sistema, la ecuación de movimiento de la función de Green casi clásica es la ecuación (de transporte) de Boltzmann. Las funciones de Green cuasi-clásicas no están normalizadas, por lo que no pueden interpretarse (sea lo que sea que signifique) como una distribución de cuasi-probabilidad.

Por lo que recuerdo, la ecuación de movimiento casi clásica para la función de Wigner no es la de Boltzmann, sino la de Liouville: el término de colisión está ausente, ya que no hay un método de autoenergía asociado con la matriz de densidad. Se necesita trabajar con la ecuación de Lindblad para la matriz de densidad, mientras que el método de la energía propia es suficiente cuando se trabaja con la función de Green casi clásica. Otro método para tratar con sistemas abiertos cuando se trabaja con la matriz de densidad es el llamado método estocástico , véase , por ejemplo, Walls, DF & Milburn, GJ Quantum optics (Springer-Verlag, 1994).

Para concluir, tenga en cuenta que he puesto el tiempo debajo de la alfombra en la explicación anterior. Eso es por una buena razón: el tiempo siempre es más complicado de manejar en la transformada de Wigner-Weyl, especialmente en el límite casi clásico y con el método de funciones de Green. El uso de la función de Wigner no es un gran problema cuando se tiene en cuenta el tiempo. Por supuesto, lidiar con la ecuación de Lindblad no es un tema sencillo... pero esa es otra historia :-)