Dejar sea el espacio-tiempo y considere el espacio de soluciones a la ecuación de Klein-Gordon dotado del producto interior:
Dejar ser un conjunto completo de soluciones en este espacio y un campo vectorial Killing similar al tiempo en .
Si entendí bien (y puede que no), en su libro Spacetime and Geometry, Sean Carroll dice que es una solución de frecuencia positiva a la ecuación de KG si hay tal que
y es una solución de frecuencia negativa si
Ahora, ¿por qué se necesita un campo de exterminio para juzgar esto? ¿Por qué esto no se puede hacer con un campo vectorial temporal arbitrario?
La derivada de Lie de un la función es simplemente la derivada direccional de la función a lo largo de las líneas integrales del campo.
¿Por qué esta condición dice que una función es una frecuencia positiva o negativa, y por qué necesitamos el campo Killing?
Editar : sé que un campo Killing es un generador de isometrías, por lo que el tensor métrico es constante a lo largo de su flujo. Sin embargo, realmente no puedo ver por qué para definir soluciones de frecuencia positiva/negativa necesitamos un campo de muerte en lugar de solo un campo temporal. No veo por qué debería estar involucrada ninguna simetría del espacio-tiempo.
En realidad, un campo vectorial dirigido al futuro similar al tiempo define una familia de observadores y es un marco de referencia. Pensé que esto era suficiente para definir la frecuencia positiva/negativa: es lo que ve este marco de referencia. Sinceramente, no sé dónde entra en juego la parte de Matar.
Se necesita un campo de vector de destrucción para definir bien el estado de vacío.
Más precisamente, las soluciones de frecuencia positiva y negativa tienen significado si el espacio-tiempo tiene un campo vectorial Killing similar al tiempo global (es estacionario). Si es globalmente temporal se puede encontrar un sistema de coordenadas donde la métrica es independiente del tiempo y toma la forma y la ecuacion toma la forma
Ahora bien, según el teorema de Noether, la energía se conserva y, como uno tiene una noción bien definida de energía conservada, bien puede definir el estado de energía mínima, el vacío.
Por lo tanto, tener un vector Killing similar al tiempo global garantiza que su estado de vacío permanezca como un estado de vacío a medida que evoluciona el tiempo. Si no tiene un vector Killing sino un vector temporal, entonces el estado de vacío no evolucionaría hacia el mismo estado de vacío.
La importancia de un campo vectorial Killing, , es que indica la presencia de una simetría espaciotemporal. es decir, es una "isometría" que significa una simetría de la métrica: . Por lo tanto, definir la frecuencia con respecto a un campo vectorial Killing similar al tiempo nos da una noción de frecuencia que está relacionada con una simetría del propio espacio-tiempo.
Por supuesto, podría optar por elegir un campo vectorial temporal arbitrario en su lugar, pero esa elección sería, bueno, arbitraria sin relación con la estructura subyacente del espacio-tiempo. Con una elección tan arbitraria, estaría definiendo la "frecuencia" de una manera que puede no tener una relación natural con la definición arbitraria de otra persona. Al definirlo con respecto a una simetría del espacio-tiempo, hemos seleccionado una definición que no es del todo arbitraria.
Comentarios posiblemente relevantes sobre los campos de vector de matanza:
En el Apéndice B del libro de Carroll, describe cómo siempre se pueden elegir coordenadas tales que una de las coordenadas (digamos la -coordenada) se encuentra a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial Killing, . En tales coordenadas, la derivada de Lie de un campo tensorial toma la forma especialmente simple,
Ahora, la definición del campo vectorial Killing implica en estas coordenadas que uno tiene
Así encontramos que la presencia de un campo vectorial Killing nos permite elegir siempre coordenadas tales que la métrica sea independiente de una coordenada asociada con la simetría.
qmecanico
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