¿Qué determina el ángulo del cojín en una mesa de billar?

Si miras los cojines (bumpers) de una mesa de billar, verás que no están verticales. Están inclinados hacia adentro. Hace aproximadamente 10 años, me encontré con un examen de física en el que uno de los problemas establecía un conjunto de suposiciones físicas y luego le pedí al examinado que determinara el ángulo óptimo para que si una pelota rodaba sin resbalar cuando golpeó el cojín, rebote tal que volviera a rodar sin resbalar. La implicación parecía ser que este era el ángulo utilizado en las mesas de billar reales.

No tenía acceso a la solución del propio examinador, y cuando analicé el problema yo mismo , descubrí que no podía reproducir los ángulos reales encontrados en las mesas de billar. Parece que hubo cierta especulación de que en algún lugar en la noche de los tiempos, alguien fijó el ángulo empíricamente maximizando la distancia de rebote para las pelotas que inciden a lo largo de la normal, y que este ángulo estaba bien explicado por este tipo de cálculo. De hecho, un video de alta velocidad (Mathaven 2009) muestra que en el billar, una bola que golpea un cojín a lo largo de la normalidad no rebota al rodar sin resbalar; se desliza durante aproximadamente 0,1 s antes de que el par debido a la fricción cinética lo lleve al estado de no deslizamiento. (No creo que la situación física sea muy diferente entre el billar y el snooker).

Algunos datos. Dejar r sea ​​el radio de una bola de billar, y sea el ángulo de la almohadilla tal que el punto de contacto entre la bola y la banda esté por encima del centro de la bola a una altura b . Las mesas de billar reales tienen b / r ≈ 0.26 . En el billar, el coeficiente de fricción cinética, medido por Mathaven, es m k ≈ .18 − .24 , y la desaceleración debida a la resistencia a la rodadura es aproximadamente a / gramo ≈ 0.0127 − 0.0129 .

Mi pregunta: ¿Hay alguna explicación física para el ángulo de los cojines en una mesa de billar? No parece ser óptimo para una incidencia normal, pero ¿es posible que esté optimizado en el sentido de un promedio sobre todos los ángulos de incidencia posibles? ¿Existen modelos y posiblemente simulaciones por computadora que sean lo suficientemente sofisticadas para abordar este tipo de preguntas?

Mathaven, S., et al., "Aplicación de imágenes de alta velocidad para determinar la dinámica del billar", American Journal of Physics vol. 77, No. 9, págs. 788-794, 2009. http://billiards.colostate.edu/physics/ajp_09_hsv_article.pdf

Fascinante. Otro objetivo posible sería mantener el ángulo de reflexión igual al ángulo de incidencia (¿asumiendo que se está rodando en línea recta?) a pesar de la naturaleza inelástica de la colisión.
Un factor que probablemente se consideró fue minimizar la probabilidad de que las bolas de alta velocidad rebotaran en la mesa de billar. Quizás se encontró que el ángulo de amortiguación actual era óptimo para esta situación.
Este análisis afirma que el "punto óptimo" de una bola de billar es (7/5)r. Habría adivinado que la altura era la razón del diseño de la mesa, en lugar de un ángulo particular.
@MarkRovetta: El ángulo θ de la banda está relacionada con la altura a la que toca la pelota. El resultado que cita sería, en mi notación, b / r = 0.4 , o θ = pecado − 1 ⁡ ( b / r ) = 41 grado Como se indica en la pregunta, las mesas de billar reales tienen b / r = 0.26 , o θ = 15 grado Su resultado se deriva bajo la suposición de que la fuerza que actúa sobre la pelota es horizontal, pero eso no es correcto para una pelota que golpea un cojín, como se explica en el enlace a mi propio análisis. Entonces, el resultado del análisis al que se vinculó (a) no coincide con la realidad y (b) se basa en suposiciones que no se aplican aquí.
@BenCrowell: Según este sitio , el 'punto óptimo' de b / r = 0.4 no se usa porque el empuje hacia abajo de la pelota que rebota sobre la superficie causaría demasiado desgaste. Entonces, en su lugar, se usa una altura ligeramente más baja. De acuerdo con las especificaciones de BCA, las bolas de billar tienen un diámetro de 2 1/4", mientras que la altura del cojín generalmente se toma como 1 7/16" (pero hay variaciones entre los fabricantes). Para estos valores, b / r ≈ 0.28 .
@Pulsar: ¡Ja! ¡Qué ignominiosa solución para un elegante problema de física! Si conviertes tu comentario en una respuesta, lo aceptaré.

Respuestas (1)

Si los parachoques fueran verticales, entonces el punto de contacto estaría en el centro y dado que la gravedad es mayor que la fuerza de rebote, significa que no habrá suficiente fricción para cambiar la rotación de la pelota cuando cambie la dirección de la pelota. Si el punto de contacto está más arriba, entonces la fuerza de contacto está hacia el centro de la pelota y, por lo tanto, está empujando la pelota hacia la mesa, lo que aumenta la fricción y permite que la rotación cambie según sea necesario para un buen rebote.

Hice algunos cálculos rápidos con colisiones inelásticas y esto es lo que encontré:

  1. El momento de inercia de masa de una bola sólida es yo = 2 5 metro r 2
  2. El impulso de contacto es
    j = ( ϵ + 1 ) 3 5 metro ω r h r ( 2 − h r )
    dónde h es la altura sobre el piso que tiene la punta del parachoques y r es el radio de la bola. v = ω r es la velocidad lineal de la pelota antes del impacto y ϵ = 0 … 1 es el coeficiente de restitución.
  3. El impulso de fricción requerido para invertir la rotación de la bola es
    R = ( ϵ + 1 ) 2 5 metro ω r
  4. El impulso vertical de la mesa es
    norte = ( ϵ + 1 ) 3 5 metro ω r ( h r − 1 ) h r ( 2 − h r )
  5. El coeficiente de fricción mínimo necesario para invertir la rotación es
    m > 4 9 ( 1 ( h r − 1 ) 2 − 1 )

Entonces, si los parachoques hacen que el punto de contacto esté en el centro de la esfera con h = r después m > ∞ que es imposible. Un valor más típico de m requiere que la altura sea mayor que

h > r ( 1 + 1 1 + 9 4 m 2 ) m = 0.5 h > r ( 1 + 4 5 ) = 9 5 r

Por otro lado, cuanto más alto h es entonces que las fuerzas involucradas aumentan a medida que j se vuelve más grande y, por lo tanto, las pérdidas potenciales y las no linealidades se vuelven dominantes. Así que el truco es encontrar la altura más pequeña posible. h por el rozamiento de la superficie m .

NOTA: En realidad, la gravedad no juega un papel en los impactos porque se dice que ocurren en un tiempo infinitesimal y, por lo tanto, cualquier aceleración no afectará significativamente la velocidad.
el impulso j apunta hacia abajo con un ángulo θ de la vertical por lo que las ecuaciones que utilicé son
R − j pecado ⁡ θ = metro Δ v norte − j porque ⁡ θ = 0 r R = yo Δ ω Δ v = r Δ ω Δ ω = − ( ϵ + 1 ) ω m > R norte
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