El papel dual de los operadores (anti-)hermitianos en la mecánica cuántica

Una primera observación: el término "hermitiano", aunque muy popular en física, en mi opinión es bastante engañoso (porque algunos lo usan para operadores simétricos, otros para operadores autoadjuntos).

Una segunda observación: los operadores autoadjuntos de un espacio de Hilbert dado$\mathscr{H}$están en correspondencia biunívoca con los grupos fuertemente continuos de operadores unitarios; no con ningún grupo de operadores unitarios. Por lo tanto, no es posible asociar observables con "operadores unitarios", pero es posible asociarlos con grupos fuertemente continuos (abelianos, localmente compactos) de operadores unitarios.

Estas distinciones, aunque sean sutiles en algún sentido, pueden ser importantes. De hecho hay representaciones de grupos unitarios que no admiten generador autoadjunto; por ejemplo, las relaciones de conmutación canónicas (en la forma de Weyl exponenciada) tienen representaciones "no regulares" para campos y están físicamente relacionadas con problemas de infrarrojos (ver, por ejemplo, este enlace ) .

Con respecto a los observables, el punto es que es bastante difícil dar un marco algebraico satisfactorio para agrupar observables que no están acotados (ya que en realidad son la mayoría de las cantidades físicamente relevantes: por ejemplo, energía, cantidad de movimiento...). Una opción es construir un álgebra de operadores ilimitados, pero hay que tener en cuenta todo tipo de "pesadillas" de dominio. Otra es considerar un álgebra de operadores acotados (un$C^*$o álgebra de von Neumann), y "afiliar" operadores autoadjuntos ilimitados a él de una manera adecuada. Ambos procedimientos no son, en mi opinión, completamente satisfactorios; de todos modos, el enfoque algebraico brinda un marco muy bueno para comprender algunos de los aspectos de las teorías cuánticas, especialmente las representaciones de grupos de operadores.

Mi punto de vista personal es considerar cualquier operador autoadjunto en un espacio de Hilbert dado (generalmente una representación adecuada de un$C^*$álgebra, o su bicommutante) como un observable. Esta elección se justifica por el hecho de que cualquier cantidad físicamente medible de valor real que realmente midan los físicos se comporta como un operador autoadjunto (y no como uno simétrico); en particular tiene (matemáticamente hablando) una familia espectral asociada, como es el caso de los operadores autoadjuntos pero no de los simétricos.

Un último comentario matemático : por supuesto, puede asociar a un operador autoadjunto dado$A$un grupo unitario fuertemente continuo$e^{itA}$; y por ejemplo construir el$C^*$álgebra$\{e^{itA},t\in\mathbb{R}\}\overline{\phantom{ii}}$; donde la barra representa el cierre (en la norma del operador). Esa álgebra puede ser muy interesante de estudiar y estar relacionada con cierto grupo de simetría de transformaciones, etc. Sin embargo, hay otras álgebras que podrían ser aún más interesantes, por ejemplo, el álgebra resolutiva$\{(A-i\lambda)^{-1}, \lambda\in\mathbb{R}\}\overline{\phantom{ii}}$.

En el caso de CCR, el álgebra resolutiva tiene una estructura "más rica" ​​de operadores autoadjuntos afiliados y, lo que es más importante, de automorfismos. Eso significa que se pueden definir más tipos de dinámica cuántica en el álgebra de resolución, preservándola, que en el álgebra de Weyl (exponencial unitaria). Desde el punto de vista de que los observables son solo los operadores afiliados a un álgebra dada, esto significa que el álgebra de resolución contiene más observables y una estructura menos trivial de posibles evoluciones que el álgebra de Weyl.