¿Cuál es la propiedad algebraica que corresponde a un término topológico?

Una herramienta geométrico-algebraica moderna que actualmente se encuentra bajo investigación activa en el contexto de la cuantificación de teorías de campo con términos topológicos es la teoría de gerbes . La principal referencia para esta aplicación (cuantificación) es el libro de Brylinski : "Loop Spaces, Characteristic Classes, and Geometric Quantization".

Los gerbes se utilizan ampliamente en la teoría de cuerdas; consulte la siguiente introducción de Graeme Segal. (es decir, las estructuras fibrosas dependiendo de$B$-los campos en la teoría de cuerdas son en realidad propiedades de gerbes).

Una de las primeras referencias de la física sobre este tema es el artículo seminal de Orlando Alvarez. (La palabra gerbe no se menciona en el artículo, porque precedió al uso de esta terminología en física).

En este trabajo se logra la condición de cuantificación del coeficiente de un término WZW como subproducto de la construcción del isomorfismo entre los grupos de cohomología Cech y de-Rham.

El trabajo describe dos ejemplos, el primero es la traducción del argumento Wu-Yang de una partícula en el campo de un monopolo magnético (en 0+1 d) a la cohomología Cech. Este ejemplo es en realidad una introducción a los paquetes de líneas. La cuantificación del coeficiente WZW en dimensiones 0+1 es solo la condición de cuantificación de Dirac, que asocia (clases de equivalencia) de paquetes de líneas sobre la variedad con la primera clase de Chern de la variedad, que es el campo magnético definido globalmente. La construcción del paquete de líneas es el primer paso hacia la cuantificación (a veces llamada precuantificación). Básicamente, el espacio de Hilbert de cuantización se puede elegir para que sea el espacio cero de los modos del Laplaciano (calibrado) en las secciones del paquete. Los valores de las cargas magnéticas determinan la dimensión del espacio de Hilbert de cuantización mediante el teorema del índice de Atiyah-Singer.

El segundo (y principal) ejemplo es un modelo sigma bidimensional con un término WZW, que es la contribución importante del trabajo. En el curso del proceso de cuantificación del coeficiente WZW, se construyen los ingredientes básicos del gerbe: El$H$-campo: la forma global de tres WZW, la$B$-campo (dos formularios) indicado en el artículo por$T$y el$A$-campo (una forma) denotado en el artículo por$J$.

Este trabajo de Orlando Alvarez es muy esencial para la comprensión de las siguientes construcciones de gerbe.

La cuantificación de gerbes sigue las mismas líneas que la cuantificación de haces de líneas. La condición de cuantificación, o la asociación de haces de líneas con la primera clase de Chern, se reemplaza por la asociación del gerbe con una clase de Dixmier-Douady cuyo representante es solo la forma WZW tres con el coeficiente cuantificado. La holonomía de haz de líneas se reemplaza por la holonomía de superficie de gerbe. Los espacios de cuantización son de dimensión infinita y están asociados con representaciones de álgebras de Kac-Moody; consulte el siguiente trabajo de Juoko Mickelsson.

Gerbes permite la extensión de la teoría de la cuantización geométrica a espacios de bucle de variedades$L\mathcal{M}$mientras se trabaja con objetos de dimensión finita. La transición entre las dos imágenes es por medio del mapa de transgresión, en nuestro caso$H^3(\mathcal{M}) \cong H^2(L\mathcal{M})$. Por lo tanto, la forma WZW tres es en realidad la clase Chern de un paquete de líneas sobre un espacio de bucle. Véase, por ejemplo, el siguiente trabajo de Sämann y Szabo.

El uso de gerbes no se limita a teorías de campos bidimensionales, aunque la cuantificación de teorías de campos de dimensiones superiores (con términos topológicos, por ejemplo, cuando hay anomalías presentes), constituye un desafío mucho más difícil y el trabajo aún no ha concluido. . Juoko Mickelsson y sus colaboradores tomaron medidas en esta dirección; consulte las referencias en el trabajo de Mickelsson anterior y otros trabajos suyos en el Archivo.

Tenemos una clasificación algebraica de términos WZW que funciona para cualquier dimensión y para cualquier grupo de simetría (incluidos los grupos discretos). De hecho, lo que hicimos fue clasificar los llamados estados SPT para cualquier simetría en el sitio en cualquier dimensión. Las excitaciones límite de los estados de un SPT se describen mediante un modelo sigma no lineal efectivo del grupo de simetría con un término WZW. La clasificación de los estados SPT masivos, a su vez, clasifica los términos WZW para el modelo sigma no lineal de límite efectivo.

La clasificación se puede establecer de la siguiente manera ( arXiv:1106.4772 ):

Considere un modelo sigma no lineal cuyo espacio objetivo es el grupo de simetría$G$en$d$dimensiones de espacio-tiempo, sus términos WZW se clasifican por clases de cohomología de grupo$H^{d+1}(G,R/Z)$. Aquí$G$puede ser continua o discreta.

Agregar: lo que realmente clasificamos es el término WZW en un modelo sigma no lineal cuyo espacio objetivo es el grupo de simetría$G$en$d$red dimensional del espacio-tiempo . Es decir, tenemos un espacio-tiempo discreto . Incluso para espacio-tiempo discreto y grupos discretos, se puede definir una generalización del término WZW, y su clasificación es puramente algebraica. Esta es la razón por la que nuestra clasificación implica la teoría de la cohomología en lugar de la teoría de la homotopía.

Si rompemos la simetría, los efectos de baja energía del término WZW desaparecen (es decir, las propiedades de baja energía de la teoría son las mismas con o sin el término WZW. Es por eso que requerimos simetría.