Anyons permitidos para Chern-Simons en el nivel kkk

Estas representaciones se denominan representaciones integrables. En el caso de un grupo de Lie semisimple compacto general, una representación de peso más alto desciende de un peso más alto:

$$\lambda = \sum_i n_i w_i, \quad i = 1, ...,r$$ Dónde$r$es el rango,$w_i$son los pesos fundamentales y$n_i \in \mathbb{Z}^+$. La representación anterior es integrable para un nivel$k$si por todo$i$ $$0\le n_i \le k$$ Las razones de esta condición pueden entenderse cualitativamente de la siguiente manera: La restricción de la ley de Gauss de la teoría de Chern-Simons sobre el disco en presencia de un bucle infinitesimal de Wilson en$x_0$correspondiente a la representación$\lambda$es dado por: $$\frac{k}{2\pi} F^a_{12} = i T^a_{(\lambda)} \delta^2(x-x_0)$$ Ecuación de Witten 3.4. (Witten explica este tema con palabras en los siguientes párrafos)

Dónde$T^a_{(\lambda)}$es un generador del álgebra de Lie en la representación$\lambda$, que siempre se puede diagonalizar como:

$$T^a_{(\lambda)} = g H_{(\lambda)} g^{-1}$$ Dónde$H_{(\lambda)}$está en la subálgebra de Cartan.

La holonomía de la conexión que resuelve la ley de Gauss tiene la forma:

$$U = e^ {\frac{2 \pi i}{k} g H_{(\lambda)} g^{-1} \phi}$$ Dónde$\phi$es el ángulo de rotación alrededor del punto de inserción.

Dado que los elementos de la matriz (diagonal) de$H_{(\lambda)}$son menores o iguales a los componentes de mayor peso, por lo tanto debido al prefactor$\frac{2 \pi}{k}$, un cambio por múltiplos enteros de$k$no cambia la holonomía. Estas representaciones se denominan integrables, porque el nivel$k$Las álgebras de Kac-Moody que se basan en ellas generan representaciones de los correspondientes grupos de Kac-Moody. Consulte Goddard y Olive .