hamiltoniano y energía de una partícula cargada en un campo electromagnético

Question

hamiltoniano y energía de una partícula cargada en un campo electromagnético

energía
Física
hamiltoniano
teoría de calibre
electromagnetismo
formalismo hamiltoniano

SRS

El Lagrangiano de una partícula cargada de carga $e$ moverse en un campo electromagnético está dado por

L = \frac{1}{2} metro {\dot{r}}^{2} - mi ϕ - mi A \cdot v

$L=\frac{1}{2}m\dot{\textbf{r}}^2-e\phi-e\textbf{A}\cdot \textbf{v}$ dónde

ϕ (r, t)

$\phi(\textbf{r},t)$ es el potencial escalar y

A (r, t)

$\textbf{A}(\textbf{r},t)$ es el vector potencial. Aquí el "potencial"

U = e (ϕ - A \cdot v)

$U=e(\phi-\textbf{A}\cdot \textbf{v})$ es dependiente de la velocidad. El hamiltoniano correspondiente viene dado por

H = \frac{(pag - mi A)^{2}}{2 metro} + mi ϕ

$H=\frac{(\textbf{p}-e\textbf{A})^2}{2m}+e\phi$

¿Es posible definir una energía total para la partícula cargada? En caso afirmativo, ¿cuál es la expresión de la energía total y es una constante de movimiento?
¿Coincide la expresión del hamiltoniano con la de la energía total? Supongo que el hamiltoniano no puede representar la energía total porque no es invariante de calibre.

Jim

Eche un vistazo a (por ejemplo) physics.stackexchange.com/q/94699

SRS

@jim- Miré la publicación pero mis preguntas son diferentes.

dmckee --- gatito ex-moderador

InRe #2: Uno de los requisitos para identificar el hamiltoniano con la energía total es explícitamente que la energía potencial sea independiente de las velocidades generalizadas. /He estado revisando mi mecánica hamiltoniana últimamente...

Respuestas (3)

hamiltoniano y energía de una partícula cargada en un campo electromagnético

Eche un vistazo a (por ejemplo) physics.stackexchange.com/q/94699
@jim- Miré la publicación pero mis preguntas son diferentes.
InRe #2: Uno de los requisitos para identificar el hamiltoniano con la energía total es explícitamente que la energía potencial sea independiente de las velocidades generalizadas. /He estado revisando mi mecánica hamiltoniana últimamente...

bremsstrahlung · Answer 1

bremsstrahlung

Para un sistema de campo de partículas, la única forma de definir una energía invariante de calibre es considerar también la energía transportada por el campo, en forma de tensor de momento de energía $T^{\mu\nu}$ en presencia de cargos. $T^{\mu\nu}$ es una cantidad manifiestamente invariante de norma. Para derivar esto utilice el teorema de Noether y las ecuaciones de Maxwell en presencia de cargas. Esto da una energía conservada para el sistema.
Entonces, la respuesta a esto sería no, no corresponde a la energía total, ya que también debe considerar la energía de campo para lograr una cantidad conservada. Intuitivamente, si elegimos algún calibre donde $\phi = 0$ , entonces el cambio en la energía de la partícula es compensado por un cambio en la energía transportada por los campos. Resultando así en la misma energía total para el sistema.

SRS

Resulta que para el campo electromagnético libre

T^{00} = \frac{1}{2} (E^{2} + B^{2}) + \nabla \cdot (ϕ E)

$T^{00}=\frac{1}{2}(\textbf{E}^2+\textbf{B}^2)+\nabla\cdot(\phi\textbf{E})$ . Esta es la energía transportada por el campo solamente. Por qué dices eso

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ ¿el calibre es invariante? ¿Puedes escribir la expresión de la energía total del sistema combinado de campo de partículas?

bremsstrahlung

También resulta que puede redefinir el tensor de impulso de energía para que sea invariante de calibre agregando el término

\frac{1}{4 π} \partial^{μ} A^{ν} F_{μ}^{α}

$\frac{1}{4\pi}\partial^{\mu} A^{\nu} F^{\alpha}_{\mu}$ . Esto deja la forma final del tensor como

\frac{1}{4 π} (- F^{ν μ} F_{μ}^{α} + \frac{1}{4} g^{ν α} F_{μ β} F^{μ β})

$\frac{1}{4\pi}\bigg(-F^{\nu\mu}F^{\alpha}_{\mu} + \frac{1}{4}g^{\nu\alpha}F_{\mu\beta}F^{\mu\beta}\bigg)$ . Que es calibre invariante.

parker · Answer 2

Esta pregunta se estudia en detalle en http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.12463 . El chiste es que existe una forma natural de definir la energía total del campo electromagnético y las partículas juntas, pero no existe una única forma natural de dividirla entre las dos contribuciones.

Juanrga · Answer 3

Ese hamiltoniano ya representa la energía total de la partícula pero no se conserva porque la partícula es un sistema abierto. Sumando la energía del campo y de las partículas asociadas a la interacción de Coulomb da una energía conservada para el sistema cerrado total de partículas más campo

H_{t o t} = \sum_{i} \frac{({pag}_{i} - {mi}_{i} A)^{2}}{2 {metro}_{i}^{b a r mi}} + \frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j \neq i} \frac{{mi}_{i} {mi}_{j}}{4 π ϵ_{0} | r_{i} - r_{j} |} + \frac{1}{8 π} \int d^{3} X ({mi}_{T}^{2} + B^{2}) .

$H_\mathrm{tot}= \sum_i \frac{(\boldsymbol{p}_i - e_i \boldsymbol{A})^2}{2m_i^\mathrm{bare}} + \frac{1}{2} \sum_i\sum_{j\neq i} \frac{e_i e_j}{4\pi\epsilon_0 | \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j |} + \frac{1}{8\pi} \int d^3x \> ( \boldsymbol{E}_\mathrm{T}^2 + \boldsymbol{B}^2) .$

dónde $m_i^\mathrm{bare}$ es la masa desnuda, una cantidad infinita que debe renormalizarse utilizando la "masa electromagnética" asociada al potencial vectorial divergente y $\boldsymbol{E}_\mathrm{T}$ es la componente transversal del campo eléctrico.

Este hamiltoniano o forma de resolver la inconsistencia de las cargas puntuales con las fórmulas de Poynting es la forma estándar que se repite en los libros de texto, pero es gravemente defectuosa: aunque la energía eléctrica se hace finita por la sustitución de la energía de Coulomb, la energía magnética sigue siendo infinita. Y $e_i \mathbf A$ es indefinido - $\mathbf A$ diverge en el lugar donde está la partícula. Uno tiene que decidir si quiere partículas puntuales, en cuyo caso la parte del campo no está dada por las expresiones de Poynting, o si quiere las expresiones de Poynting, pero luego las partículas están compuestas y las cosas se complican.
@JánLalinský la divergencia en el vector potencial $\mathbf A$ se compensa con un plazo incluido en la masa desnuda juanrga.com/2017/07/…
Este tipo de esfuerzo con infinitos compensados no está bien motivado. Si compensan, ¿por qué presentarlos? Podemos seguir, matemáticamente, con el modelo con el que comenzó, el hamiltoniano (4) en la página de su blog. Sin embargo, tiene otro problema; la interacción de partículas no es correcta. El Lagrangiano de Darwin ya contiene también un término que depende de los componentes radiales de los momentos, y sabemos que incluso eso no es totalmente consistente con las ecuaciones de Maxwell. Además, hiciste un salto lógico en 19); ¿Cómo llegaste a la integral de $B^2$ ? Para partículas puntuales, esta integral es infinita.
@JánLalinský Prefiero usar masa real y potenciales reales. Simplemente mencionó que se necesita la masa desnuda no física cuando se usa el potencial teórico de campo divergente. Tenga en cuenta que el término de Darwin tiene un factor de 1/2 en la interacción, porque el hamiltoniano de Darwin divide toda la interacción en modos. Toda la integral en (19) es divergente. Esta divergencia es compensada por $E^\mathrm{self}$ y por el término cinético. Compruebe (12).

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Ján Lalinský

Juanrga

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