Un álgebra unitaria compleja que es un espacio de Banach también es un álgebra de Banach

En mi clase de análisis funcional me quedé atascado en esta pregunta sobre álgebras de Banach:

Dejar$\mathbb{A}$ser un álgebra unitaria compleja (tiene una unidad, es decir, una identidad multiplicativa) y$\mathbb{A}$está equipado con una norma tal que A es también un espacio de Banach y con respecto a esta norma métrica la operación de multiplicación es continua en dos componentes (es decir, si para dos secuencias en$\mathbb{A}$tal que$\{ a_n \}_{n=1}^{\infty} \to a \in \mathbb{A}$y$\{ b_n \}_{n=1}^{\infty} \to b \in \mathbb{A}$tenemos$a_nb \to ab$y$ab_n \to ab$). Se nos pide probar que existe una norma equivalente sobre$\mathbb{A}$tal que es un Álgebra de Banach. También se nos pide que observemos el hecho de que el álgebra tiene una unidad y que veamos si esta conclusión es necesariamente cierta si el álgebra no es unitaria.

Realmente parece que no puedo probar esto o aprovechar la pista y no pude encontrar una referencia para esto en la literatura, así que estoy publicando aquí con la esperanza de encontrar ayuda. Gracias a todos los ayudantes.