La curvatura del espacio-tiempo tiene impacto en la geometría del objeto.

Sí, en principio se puede observar diferencia de tamaño y forma en vista de la desviación geodésica. Si tienes un par de partículas de materia muy próximas entre sí, en reposo en un marco de referencia, en una región genérica del espacio-tiempo donde está presente la curvatura, experimentan una aceleración relativa en vista de la llamada desviación geodésica que se debe a el hecho de que el tensor de Riemann no es cero. Esto implica que si desea mantener las partículas a una distancia relativa fija, debe aplicar fuerzas. En un cuerpo extenso, estas fuerzas se denominan tensiones internas. Las tensiones internas están relacionadas con la deformación del objeto. Por lo tanto, un cubo metálico debe cambiar de tamaño y su forma puede cambiar en presencia de curvatura para cancelar la aceleración relativa de sus moléculas, impuesta por el "campo gravitacional".

La segunda pregunta no está bien planteada porque debe interpretarse su afirmación "en la parte inferior el tiempo corre más lento que 1 m arriba"... Lo que puede comparar es algún intervalo de tiempo referido a algún tiempo de matar utilizado, por ejemplo, para definir el noción de equilibrio termodinámico. Los intervalos de tiempo para matar son idénticos en todas partes, por ejemplo, el período temporal de la onda electromagnética emitida desde arriba hacia abajo es el mismo en la parte inferior y en la parte superior. Sin embargo, las medidas de estos intervalos referidas a relojes ideales que permanecen respectivamente en la parte superior e inferior resultan ser diferentes. Sin embargo, si todas nuestras mediciones se realizan manteniéndose en la parte superior o en la parte inferior, no se revela ninguna diferencia de intervalo de tiempo. Además, el valor (constante incluso en GR) de la velocidad de la luz está siempre referido al tiempo propio y no al tiempo de Matar, y la noción de longitud es coherente con esta elección. Entonces, la respuesta a su segunda pregunta es NO, esa no es la forma de observar una deformación geométrica.

En primer lugar, se espera que la curvatura del espacio cambie (en proporción) todo lo que usas para medir el cubo. Incluyendo escalas, láseres, etc. todo. Y así, no observarías ninguna diferencia.

Sin embargo, la curvatura del espacio no es necesariamente geométrica. Incluso si es geométrico, puede que no sea necesariamente a lo largo de las direcciones en las que observamos sus efectos.

Vemos la luz doblada debido al espacio curvo. Eso no significa que el espacio esté doblado en la misma dirección.

Por ejemplo, una lente también desvía la luz, pero sabemos que la lente en sí misma no se desvía en la misma dirección en la que desvía la luz. En realidad, está doblado en una dirección perpendicular. No es una muy buena analogía, pero solo para dar una idea.

Por lo tanto, diría que si bien las matemáticas funcionan más allá de cualquier duda razonable, el mecanismo y la forma/naturaleza de la curvatura en sí no se conocen/describen.

Sin embargo, supongo que las matemáticas consideran la curvatura como geométrica y en las mismas direcciones que los efectos observados. Y las matemáticas funcionan muy elegantemente.