¿Puede una partícula no tener velocidad instantánea en todos los puntos de la trayectoria tomada pero una velocidad media finita?

No, no es posible, porque una de las suposiciones subyacentes de la cinemática es que todos los caminos son al menos dos veces diferenciables. Antes de quejarse de este requisito, recuerde que la física se trata de construir modelos que se pueden usar para describir y predecir medidas. Las medidas siempre tienen cierta cantidad de incertidumbre, e incluso si supones que es posible que una partícula viaje a lo largo de un camino no diferenciable$x(t)$, siempre es posible construir una ruta dos veces diferenciable que coincida con$x(t)$a cualquier nivel deseado de precisión. Esa ruta dos veces diferenciable es lo que usa para el modelo.

Incluso más allá de eso, asegúrese de no confundir "sin velocidad instantánea" con "velocidad instantánea cero". Por lo general, usamos estos términos indistintamente en física, pero tenemos el lujo de hacerlo porque (normalmente asumimos) las rutas siempre son diferenciables y, por lo tanto, en realidad no existe tal cosa como, literalmente, no tener velocidad instantánea . Si desea trabajar con caminos no diferenciables, debe tener más cuidado. Es concebible que en tal modelo, una partícula pueda tener una velocidad promedio perfectamente definida entre dos puntos en el tiempo y, sin embargo, nunca tener una velocidad instantánea. Esto todavía está bien (aunque es inútil) porque ningún proceso físico mide realmente instantáneamentevelocidad. Lo más cercano que obtiene es un promedio de tiempo extremadamente corto, por ejemplo, durante aproximadamente un período de oscilación de una onda EM cuando se usa el efecto Doppler.

La longitud a lo largo de cualquier segmento del copo de nieve de Koch es infinita. Tiene área finita pero perímetro infinito. Entonces, para que una partícula se mueva de un lugar a otro en el copo de nieve, tendría que viajar una distancia infinita. Por eso es importante la diferenciabilidad.

Esta es una excelente pregunta. Es pedante quejarse de la no diferenciabilidad, sin embargo, de hecho, hay un punto que debe señalarse sobre ese tema. Parece que estamos combinando la derivada dy/dx con la derivada temporal dx/dt (x es la posición aquí). Uno puede tener un camino diferenciable pero aún así la velocidad instantánea puede permanecer indefinida. Si lo contrario también es falso, no lo sé. En primer lugar, no soy lo suficientemente experto en matemáticas para obtener una expresión para el copo de nieve de Koch o cualquier función continua no diferenciable. Pero conocemos un camino simple continuo no diferenciable. Supongamos que la partícula A se mueve con velocidad u y de repente cambia de dirección. En este punto, la partícula ciertamente tiene una aceleración infinita. Pero, ¿y la velocidad? Parece que piensas que no está definido.

Es posible si la velocidad instantánea se regulariza en el sentido matemático apropiado. Llevar$\sqrt{x}$Por ejemplo. No tiene derivada en el origen, pero en cualquier intervalo finito alrededor de 0