¿Cómo encontrar la velocidad tangencial/radial/angular para el movimiento en cualquier curva? [cerrado]

Una partícula que sigue una trayectoria prescrita tiene su vector de velocidad parametrizado como

$$\vec{v} = \vec{e} \,v$$

dónde$\vec{e}$es el vector tangente y$v$es la velocidad en ese instante. Esto es un poco obvio. Pero usa lo anterior para encontrar el vector tangente si conoce ese vector radial$\vec{r}$. Usar$\vec{v} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{r} = \vec{e} v$. Entonces, por ejemplo, si la posición es una función de un ángulo$\theta$(como con coordenadas polares) tienes

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \dot{\theta} = \vec{e}\,v$$

o

$$v = \dot{\theta} \| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \|$$

y

$$\vec{e} = \frac{ \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} }{ \| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \| }$$

Ahora aquí está la parte divertida. La aceleración se parametriza como

$$\vec{a} = \vec{e}\,\dot{v} + \vec{n}\, \frac{v^2}{\rho}$$

dónde$\vec{n}$es una dirección normal a la trayectoria y$\rho$el radio de curvatura de la trayectoria. La parte de la aceleración a lo largo$\vec{n}$va hacia cambiar la dirección del movimiento y la parte a lo largo$\vec{e}$cambia la velocidad.

Una partícula plana que se mueve con velocidad.$(\dot{x},\dot{y})$tendría un radio de curvatura igual a

$$\frac{1}{\rho} = \frac{\dot{y} \ddot{x} - \ddot{y} \dot{x}}{\left( \dot{x}^2+\dot{y}^2\right)^\frac{3}{2}}$$

Esto significa que en un sistema de coordenadas donde la partícula está hacia el eje +x, el vector de velocidad es

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} \dot{r} & r \dot{\theta} \end{pmatrix}$$

$$v = \sqrt{\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2}$$

y el vector aceleración

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{\dot{r}}{v} & \frac{r \dot{\theta}}{v}\end{pmatrix} \frac{r^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+r \dot{r}\dot{\theta}^2+\dot{r} \ddot{r}}{v} + \begin{pmatrix}\frac{r \dot{\theta}}{v} & -\frac{\dot{r}}{v}\end{pmatrix} \frac{r^2\dot{\theta}^3+r(\dot{r}\ddot{\theta}-\ddot{r}\dot{\theta})+2\dot{r}^2\dot{\theta}}{v}$$

$$\dot{v} = \frac{r^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+r \dot{r}\dot{\theta}^2+\dot{r} \ddot{r}}{v}$$ $$\frac{v^2}{\rho} = \frac{r^2\dot{\theta}^3+r(\dot{r}\ddot{\theta}-\ddot{r}\dot{\theta})+2\dot{r}^2\dot{\theta}}{v}$$

Entonces la aceleración radial$\ddot{r}$enter es ambos términos (cambio de velocidad y cambio de dirección) como puede ver arriba.

Olvídate de los vectores entonces. Solo míralo de la manera física intuitiva.

• Si empuja el deslizador para acelerar, entonces acelera hacia adelante. Y la velocidad aumenta.
• Si frena, disminuye la velocidad y reduce la velocidad. Esto es aceleración de nuevo, pero negativa. O podríamos decir al revés.

¿Qué sucede si tiene un motor de cohete montado en el automóvil que apunta hacia un lado? Arrancar eso no ayuda al movimiento del automóvil en la carretera. No es acelerar el coche o frenarlo en la carretera.

Más bien empuja el coche hacia los lados . Acelerándolo lateralmente. Lo que significa que ahora también obtienes una velocidad lateral. Entonces, la velocidad total ahora es repentinamente tanto hacia adelante como hacia los lados; combinarlos es como agregarlos como vectores. ¡El resultado es una velocidad en un ángulo !

Y ahora, cuál de ellos fue el que dio la vuelta al coche. Dado que la velocidad ahora está ligeramente en otra dirección, algo debe haberla cambiado. Y la aceleración hacia adelante o hacia atrás no lo hizo girar, solo lo aceleró o lo desaceleró, como discutimos al principio. Entonces, el giro solo ocurre debido al componente lateral que apareció. Lo cual apareció por la aceleración lateral que estaba presente.

La conclusión general ahora es que la aceleración hacia adelante o hacia atrás (llamémosla tangencial , ya que está en la misma dirección que la velocidad) cambia la velocidad, mientras que la aceleración lateral (llamémosla radial , porque por qué no) provoca el giro.

(Parece que su nombre es diferente al mío aquí: radial suele ser el nombre del componente perpendicular , ya que apunta a lo largo del radio de este círculo imaginario que se movería si continuara girando. Y tangencial se debe a que es tangencial a este mismo círculo imaginario).

Si hubiera una aceleración en ángulo , podría dividirla en componentes para mostrar que en realidad solo consiste en que un poco es tangencial y un poco es radial. Así que acelera (o frena) y gira al mismo tiempo.

Considere una trayectoria arbitraria$\vec{r}(t) = r \hat{r}$medido desde el origen, en coordenadas polares ( https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system ).

La velocidad es entonces:$\vec{v} = \frac{d}{dt}\vec{r} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r \frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$. En relación con el origen, la parte radial de la velocidad es así$\frac{dr}{dt}$que es el cambio en la distancia del objeto desde el origen; la parte tangencial es$r \frac{d\theta}{dt}$que es sólo el cambio en la dirección del objeto, con el$r$determinar la longitud del arco barrida por el objeto a medida que cambia de dirección.

Sería bastante exacto al decir: "la velocidad radial responsable solo del cambio de distancia entre los objetos y el componente perpendicular a él solo del cambio de dirección"

¿Por qué?

Considere cada caso individualmente:

1) Un objeto solo tiene "velocidad radial", es decir, apunta directamente hacia afuera (o hacia) el observador:$\mathbf v = v_0 \hat {\mathbf r}$.

Bueno, se mueve directamente hacia o lejos de ti, tan 'directamente' como sea posible.

2) Un objeto tiene solo "velocidad angular" que tomaremos como en el$\hat \theta$dirección (imagina un mundo 2D), así que$\mathbf v = v_0 \hat {\mathbf \theta}$.

Este es el caso de algo cuyo radio desde ti nunca cambia, ya que siempre se mueve en la dirección 'theta' desde el observador. Este es el movimiento circular. Tenga en cuenta que esto cambia con la posición. (y por esta razón es diferente a las coordenadas cartesianas, que son independientes del tiempo/orientación).