¿Cuál es la diferencia entre la velocidad media y la velocidad instantánea?

Su pregunta es legítima y no entiendo por qué fue rechazada. La confusión surge en la diferencia entre velocidad media e instantánea.

Considere este ejemplo: un automóvil se mueve a 10 m/s durante 5 segundos, luego se detiene en un semáforo durante otros cinco segundos. ¿Cuál es la velocidad del automóvil después de 7 segundos? Según tu cálculo, sería$\frac{5 \,\textrm{s}\cdot10\,\textrm{m/s}}{7 \, \textrm{s}}\approx 7.14$m/s, lo que obviamente es incorrecto porque el automóvil está completamente en reposo después de 7 segundos. Lo que acaba de calcular es la velocidad promedio del automóvil durante esos 7 segundos.

Preguntar la velocidad de un cuerpo en un momento dado es equivalente a preguntar "¿cuánto cambiará la posición después de una cantidad infinitesimal de tiempo?", que es, en términos no rigurosos, como tomar una cantidad infinitesimal de espacio$dx$y dividiéndolo por una cantidad infinitesimal de tiempo$dt$(Así no es como se definen matemáticamente las derivadas, pero funciona a un nivel intuitivo). La velocidad promedio durante una cantidad de tiempo infinitesimal se convierte en la velocidad instantánea y se calcula usando la derivada.

en nuestro ejemplo anterior obtendríamos$0$, porque a los 7 segundos, y justo antes y justo después de los 7 segundos, el coche está en reposo.

Una cosa que debe notar sobre su método es que obtiene un resultado diferente según el rango de tiempo sobre el que está promediando. Estás promediando desde t = 0 hasta t = 10, pero ¿qué tiene de especial t = 0?

Si haces lo mismo, pero empiezas desde t = 5, obtienes:

Dado que el objetivo es determinar la velocidad instantánea en un momento determinado, el hecho de que el resultado dependa de algún otro momento que incluya en la ecuación debería ser una fuerte indicación de que su resultado no se trata solo del tiempo deseado, sino del rango del tiempo como un todo.

Cuando calcula una derivada, está calculando el límite del resultado de esto a medida que el tamaño de este rango de tiempo se vuelve cada vez más pequeño, lo que se acerca al período infinitesimal que llamamos "instantáneo".

Otra forma de pensar en esto intuitivamente es que la velocidad instantánea es lo que vería si tuviera un velocímetro y lo mirara en el tiempo t = 10. La lectura del velocímetro en ese momento no es un promedio desde que encendió el automóvil, es solo esa velocidad momentánea (esto es una simplificación, ya que el mecanismo interno del velocímetro está necesariamente promediando durante un corto período de tiempo, pero se entiende).

Estás calculando el cociente de la diferencia ,

Por ejemplo, usemos su método donde$x_b=10+0.001$y$x_a=10-0.001$; luego, pidiéndole a WolframAlpha que haga estos cálculos por nosotros , tenemos

Dicho esto, si una ecuación necesita la tasa de cambio instantánea,$\frac{\mathrm{d}f\left(x\right)}{\mathrm{d}x}$, entonces eso es lo que necesita. Como has notado, el cociente de diferencia puede ser un número muy diferente cuando la diferencia entre$x_b$y$x_a$no es despreciablemente pequeño.

Aquí puedes ver la posición$x$cambiando con respecto a$t$como$x=490t^2$.

Puedes ver que la posición cambia más rápido en el lado derecho. La velocidad aumenta y la velocidad final es obviamente diferente de la velocidad inicial o la velocidad promedio.

Espero que la visualización ayude a reforzar lo que las otras respuestas explican con palabras.

Como han dicho otros, cuando calculas

La pregunta, sin embargo, es preguntar por la velocidad instantánea en$t=10$, que corresponde gráficamente a la pendiente de la recta tangente en$(10, 4900)$, como se muestra en el siguiente gráfico:

Si trazas ambas líneas en el mismo gráfico, puedes ver que no tienen la misma pendiente; de hecho, la recta tangente tiene exactamente el doble de pendiente que la recta secante. Esto demuestra visualmente que la velocidad instantánea no es lo mismo que la velocidad promedio.

Ahora aquí hay una curiosa coincidencia: la velocidad instantánea en$t=0$es exactamente$0$, la velocidad instantánea en$t=10$es$9800$, entonces la velocidad promedio en el intervalo$0 \le t \le 10$resulta ser igual al promedio de las velocidades instantáneas en los dos extremos del intervalo! Esto no sucede en general; en la mayoría de los casos, "velocidad promedio sobre$[a,b]$significa algo diferente de "promedio de las velocidades instantáneas en$a$y$b$" -- pero siempre sucede cuando la función de posición es cuadrática (descubrir por qué esto es cierto es un ejercicio divertido).

Está mezclando la diferencia entre la velocidad instantánea y la velocidad promedio. Su método analiza la velocidad promedio, que es el cambio de posición dividido por el tiempo que lleva recorrer esa distancia. Sin embargo, esto no nos dice la velocidad en t = 10 segundos. En general, el objeto podría estar moviéndose muy rápido, lentamente o incluso en reposo en t = 10 pero aún así tener la misma velocidad promedio.

La derivada temporal de la posición nos da la velocidad instantánea en algún momento. Entonces, cualquiera de los métodos que describiste da una velocidad, simplemente no describen las mismas cosas.

Si la velocidad es constante, la velocidad promedio y la velocidad instantánea son las mismas, independientemente del intervalo que use para calcular la velocidad promedio o el punto que use para calcular la velocidad instantánea.

En tu ejemplo, la velocidad está cambiando; puedes darte cuenta porque la distancia es proporcional a$t^2$, no a t - por lo tanto, tanto las velocidades promedio como las instantáneas serán diferentes para diferentes intervalos de tiempo o diferentes puntos en el tiempo, respectivamente.