¿Es matemáticamente válida la relación "pendiente=velocidad"?

Pendiente = tan (ángulo con respecto al eje X positivo) = salida escalar

velocidad = un vector 

grafico

Fuente: Hugh D Young_ Roger A Freedman - Física universitaria con física moderna en unidades SI (2019, Pearson) Página-67

Entonces, las dudas son;

1.¿Es válida la relación "Pendiente de la tangente=x-velocidad instantánea", ya que significaría "escalar=vector"?

2. Incluso si escribo "Pendiente de la tangente = velocidad x instantánea", si la tangente hace que la pendiente del ángulo obtuso sea negativa, y sabemos que la velocidad instantánea es la magnitud de la velocidad instantánea, lo que hace que la velocidad instantánea sea un término positivo. Entonces, ¿qué da exactamente la pendiente?

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Fuente: Hugh D Young_ Roger A Freedman - Física universitaria con física moderna en unidades SI (2019, Pearson) Página-67

Una confusión similar surge en,  "Área bajo un gráfico xt = cambio en la velocidad x desde el tiempo 0 hasta el tiempo t" , con el vector del lado derecho y el lado izquierdo (área) como escalar. Creo que la respuesta a la pregunta original también proporciona una solución a esta confusión.

3blue1brown tiene una serie de videos de cálculo que responde preguntas conceptuales como esta. El primero es La esencia del cálculo, Capítulo 1.

Respuestas (1)

Tenga en cuenta que hay una diferencia entre un vector y un componente de un vector. La velocidad es un vector, la componente x de la velocidad (o el " X -velocidad" en el lenguaje que usa su libro) es solo un componente de un vector, que es un escalar.

El vector de velocidad se puede expandir en términos de vectores unitarios mi X , mi y , mi z (que satisfacen mi X ⋅ mi X = 1 , mi X ⋅ mi y = 0 , etc):

v = v X mi X + v y mi y + v z mi z
La pendiente de la recta que anotaste te da v X , que es un escalar dado por v X = v ⋅ mi X . Esta cantidad es un escalar, por lo que no hay problema en establecerla como una pendiente. También es una cantidad con signo , por lo que no es una velocidad (no hay ningún requisito de que v X > 0 ).

Un componente de un vector es un vector por derecho propio. De lo contrario, no podría agregar componentes vectoriales para llegar a una resultante.
@DavidBlanco v X = v ⋅ mi X es un escalar, no un vector, y esta es la cantidad a la que me refiero con "la X componente de v (También creo que este es el uso estándar). Por supuesto v X mi X es un vector pero no me referiría a esto como el X componente de v .
@DavidWhite "PRECAUCIÓN: los componentes no son vectores", simplemente copié y pegué del mismo libro mencionado en cuestión (página 42). En general, "componente de un vector" significa "componentes escalares" y "componentes vectoriales (debe mencionarse explícitamente) implica "componentes vectoriales", este es el término que ha mencionado como "Un componente de un vector..."
@Sahil, si el componente vectorial tiene una magnitud (seguramente la tiene) y si el componente vectorial tiene una dirección (debería), califica como un vector. Si solo está hablando de la magnitud de un componente vectorial, ese es un escalar. Si esa cita es de su libro, entonces los autores del libro no están usando la palabra "componente" de la misma manera que yo la usé durante los 13 años que estuve enseñando física a estudiantes de secundaria, y no están usando esa palabra de la misma manera. forma en que lo he visto usado en todos los demás libros de física que he leído o usado.
@DavidWhite, por lo que aprendí con el libro, la magnitud es una entidad positiva, el escalar, por otro lado, puede ser positivo o negativo. El componente vectorial es un vector, el componente escalar (generalmente denominado "componente") es un escalar.
Nunca he visto la frase "componente escalar" utilizada en un libro de física, así que tenga en cuenta que la terminología utilizada por otros autores puede ser diferente a la utilizada por los autores del libro que está utilizando.
Los componentes de los vectores son solo números. ( a 1 , a 2 , a 3 ) = a 1 X ^ + a 2 y ^ + a 3 z ^ es un vector el conjunto de componentes { a 1 , a 2 , a 3 } no es un vector a 1 es solo un numero La razón por la que hacen un escándalo por esta distinción aparentemente trivial es que la gente no se da cuenta de que los números tienen que transformarse de la manera correcta para ser un vector. Esta distinción importa cuando te mueves a espacios curvos y lo mismo ( a 1 , a 2 , a 3 ) corresponde a diferentes vectores dependiendo de donde ( a 1 , a 2 , a 3 ) está en el espacio.
Si realmente queremos ser muy precisos, entonces admito que me siento un poco incómodo llamando v X un escalar, aunque ciertamente es un número real. La razón es que si te transformas v en una base diferente, los componentes cambiarán. Sin embargo, si definimos v X como producto escalar, v X ≡ v ⋅ mi X , entonces v X realmente es un escalar. Sin embargo, todo esto está en un nivel más alto de lo que el OP necesita para su pregunta, por lo que no quería entrar en esto en mi respuesta.
@ExpertoNoExperto mi X es solo el nombre de un vector específico, por lo que v ⋅ mi X es el producto escalar de dos vectores y, por lo tanto, es un escalar. Sólo tenemos que tener cuidado de interpretar v X como el producto punto de v con el vector mi X , y no "el primer componente de v en una base arbitraria". Mientras seamos consistentes, esto está bien. Pero nuevamente, creo que esto está en un nivel más alto de lo que estaba preguntando el OP.
Por otro lado, mirando quora (ciertamente, no es una fuente muy confiable;)), los "componentes vectoriales" pueden ser vectores, escalares o ambos: quora.com/Are-vector-components-scalar . Entonces, hay muchas opiniones diferentes :) simplemente eludiré esto y me quedaré con v ⋅ mi X que es definitivamente un escalar.
De acuerdo. Es un escalar, según esa definición, pero es un escalar que te dice algo sobre una base específica que no es lo que normalmente quieres de un escalar en la práctica, creo.
@ExpertNonExpert Claro. No creo que estemos en desacuerdo el uno con el otro. Sin embargo, creo que si hubiera investigado esto, la respuesta habría sido el doble de larga y no habría abordado la confusión principal de la pregunta original.
¿Es matemáticamente válida la relación "pendiente=velocidad"?
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