¿Por qué ciertas funciones se pueden absorber en la métrica de Schwarzschild, mientras que otras no?

Question

¿Por qué ciertas funciones se pueden absorber en la métrica de Schwarzschild, mientras que otras no?

dannygoldstein

Otra pregunta sobre la solución de Schwarzschild de la Relatividad General:

En la derivación (que se muestra a continuación) de la métrica de Schwarzschild a partir de la ecuación de Einstein del vacío, en el paso marcado "AQUÍ", tenemos la libertad de cambiar la escala de la coordenada de tiempo de $dt \rightarrow e^{-g(t)}dt$ . Sin embargo, más adelante en la derivación, cuando tomamos una constante de integración en el paso marcado como "AQUÍ2", no podemos absorber esa constante en la métrica. En realidad esta constante se convierte en parte fundamental de la propia métrica. ¿Por qué no podemos incorporar esta constante en los diferenciales de la métrica también?

Aquí está la derivación:

R_{m v} - \frac{1}{2} R {gramo}_{m v} = 0

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = 0$

Suponga que la solución métrica esféricamente simétrica más general para lo anterior:

{gramo}_{m v} = (\begin{matrix} - {mi}^{2 α (r, t)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {mi}^{2 β (r, t)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^{2} {pecado}^{2} (θ) \end{matrix})

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -e^{2\alpha(r,t)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & e^{2\beta(r,t)}&0&0\\0&0&r^2 & 0\\0 & 0 &0 & r^2\sin^2(\theta) \end{pmatrix}$

Tome la traza de ambos lados:

R + 2 R = 0 \Rightarrow R = 0 R_{m v} - \frac{1}{2} (0) = 0 R_{m v} = 0

$R + 2R = 0\\ \Rightarrow R = 0\\ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}(0)= 0\\ R_{\mu\nu}=0$

Somos libres de decir:

R_{01} = \frac{2}{r} \dot{β} = 0 \Rightarrow \dot{β} = 0 ∴ β = β (r)

$R_{01} = \frac{2}{r}\dot{\beta}=0\\ \Rightarrow \dot{\beta} = 0\\ \therefore \beta = \beta(r)$

Ahora, podemos tomar una derivada temporal de $R_{22}$ ,

\dot{R_{22}} = \frac{d ({mi}^{- 2 β} [r (β^{'} - α^{'}) - 1] + 1)}{d t} = 0 = {mi}^{2 β} r {\dot{α}}^{'}

$\dot{R_{22}} = \frac{d\left(e^{-2\beta}[r(\beta'-\alpha') - 1] + 1\right)}{dt} = 0 = e^{2\beta}r\dot{\alpha}'$ (Porque

\dot{β} = 0

$\dot{\beta} = 0$ ,

r

$r$ es solo una coordenada de espacio-tiempo (y por lo tanto es independiente de otras coordenadas de espacio-tiempo), y

{\dot{β}}^{'} = \partial_{r} \partial_{t} β = \partial_{r} (0)

$\dot{\beta}' = \partial_r\partial_t\beta = \partial_r(0)$ .)

{\dot{α}}^{'} = 0 ∴ α = F (r) + gramo (t)

$\dot{\alpha}' = 0\\ \therefore \alpha = f(r) + g(t)$ porque esta es la única forma funcional para la cual

\partial_{r} \partial_{t} α = \partial_{t} \partial_{r} α = 0

$\partial_r\partial_t\alpha = \partial_t\partial_r\alpha = 0$ . Ahora, la métrica se convierte en:

{gramo}_{m v} = (\begin{matrix} - {mi}^{2 F (r)} {mi}^{2 gramo (t)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {mi}^{2 β (r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^{2} {pecado}^{2} (θ) \end{matrix})

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -e^{2f(r)}e^{2g(t)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & e^{2\beta(r)}&0&0\\0&0&r^2 & 0\\0 & 0 &0 & r^2\sin^2(\theta) \end{pmatrix}$

AQUÍ, en este punto, podemos reescalar el tiempo: $dt \rightarrow e^{-g(t)}dt$ , lo que hace que la métrica :

{gramo}_{m v} = (\begin{matrix} - {mi}^{2 F (r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {mi}^{2 β (r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^{2} {pecado}^{2} (θ) \end{matrix})

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -e^{2f(r)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & e^{2\beta(r)}&0&0\\0&0&r^2 & 0\\0 & 0 &0 & r^2\sin^2(\theta) \end{pmatrix}$

Configuración $R_{11} = R_{00}$ , encontramos:

{mi}^{2 (β - α)} R_{00} + R_{11} = 0 \frac{2}{r} α^{'} + \frac{2}{r} β^{'} = 0 \Rightarrow α = - β + C o norte s t .

$e^{2(\beta-\alpha)}R_{00} + R_{11} = 0\\ \frac{2}{r}\alpha' + \frac{2}{r}\beta' = 0\\ \Rightarrow \alpha = -\beta + const.$

Esta constante se absorbe en $dr^2$ .

AQUÍ2, Ahora viene la parte crucial, que no entiendo: mirar hacia atrás $R_{22} = 0$ , tenemos

(r {mi}^{2 α})^{'} = 1 \int (r {mi}^{2 α})^{'} = \int 1 r {mi}^{2 α} = r + \underset{Constante de integración}{\underset{⏟}{m}} {mi}^{2 α} = 1 + \frac{m}{r}

$(re^{2\alpha})' = 1\\ \int (re^{2\alpha})'= \int 1\\ re^{2\alpha} = r + \underbrace{\mu}_{\text{Constant of integration}}\\ e^{2\alpha} = 1 + \frac{\mu}{r}$

Así que la métrica finalmente termina siendo:

d s^{2} = - (1 + \frac{m}{r}) d t^{2} + (1 + \frac{m}{r})^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2} .

$ds^2 = -(1 + \frac{\mu}{r})dt^2 + (1 + \frac{\mu}{r})^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2.$

¿Por qué no puedo? $\frac{\mu}{r}$ ser absorbido en $dt^2$ y $dr^2$ como $g(t)$ y las otras constantes de integración en esta derivación fueron?? No entiendo la distinción en absoluto, ¡cualquier ayuda sería muy apreciada!

qmecanico

Aquí hay otra publicación de Phys.SE sobre cómo derivar el teorema de Birkhoff.

Respuestas (2)

¿Por qué ciertas funciones se pueden absorber en la métrica de Schwarzschild, mientras que otras no?

Aquí hay otra publicación de Phys.SE sobre cómo derivar el teorema de Birkhoff.

Miguel · Answer 1

Comencemos con la métrica

d s^{2} = - (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r}) d t^{2} + {(1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2} .

$\mathrm{d}s^2 = -\left( 1- \frac{2 G M}{r} \right) \mathrm{d}t^2 + \left( 1- \frac{2 G M}{r} \right)^{-1} \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\Omega^2 .$

"Absorber" un coeficiente métrico realmente significa definir una nueva coordenada para que, en términos de las nuevas coordenadas, ese coeficiente desaparezca (o se convierta en uno). Entonces probablemente le des a la nueva coordenada el mismo nombre que a la anterior, pero ese es un paso aparte.

Así que intentemos definir una nueva coordenada de tiempo. $\tau(t,r)$ tal que

d τ = \frac{\partial τ}{\partial t} d t + \frac{\partial τ}{\partial r} d r = \sqrt{1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r}} d t .

$\mathrm{d}\tau = \frac{\partial \tau}{\partial t} \mathrm{d}t + \frac{\partial \tau}{\partial r} \mathrm{d}r= \sqrt{1- \frac{2 G M}{r}} \mathrm{d}t.$

Si esto funciona, la métrica será $\mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}\tau^2 + \cdots$ , que es lo que creo que buscas. De la ecuación anterior tenemos $\partial \tau/\partial r = 0$ , entonces $\tau(t,r)=\tau(t)$ , pero entonces necesitamos $\partial \tau/\partial t$ ser una función de $r$ , lo cual es claramente imposible si $\tau$ en sí mismo no es una función de $r$ . entonces no hay $\tau$ coordenada que podríamos introducir con la propiedad deseada (esto es en realidad una consecuencia de la curvatura no trivial). Matemáticamente $\sqrt{1- \frac{2 G M}{r}} \mathrm{d}t$ no es un diferencial exacto. Puede evitar esto si está dispuesto a introducir términos cruzados $\mathrm{d}\tau \mathrm{d}r$ etc.

es diferente para el $r$ coordinar. Introducir $\rho(t,r)$ tal que:

d ρ = \frac{\partial ρ}{\partial t} d t + \frac{\partial ρ}{\partial r} d r = {(1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r})}^{- 1 / 2} d r .

$\mathrm{d}\rho = \frac{\partial \rho}{\partial t} \mathrm{d}t + \frac{\partial \rho}{\partial r} \mathrm{d}r= \left(1- \frac{2 G M}{r}\right)^{-1/2} \mathrm{d}r.$

El primer término da $\rho(t,r) = \rho(r)$ y el segundo da

\frac{d ρ}{d r} = {(1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r})}^{- 1 / 2},

$\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} r} = \left(1- \frac{2 G M}{r}\right)^{-1/2},$

que se integra a (por $r > 2 G M$ )

ρ = constante + r \sqrt{\frac{r - 2 GRAMO METRO}{r}} + GRAMO METRO (registro (r \sqrt{\frac{r - 2 GRAMO METRO}{r}} - GRAMO METRO + r)),

$\rho = \text{const}+r \sqrt{\frac{r-2 G M}{r}}+G M \left(\log \left(r \sqrt{\frac{r-2 G M}{r}}-G M+r\right)\right),$

que te invito a probar e invertir para $r(\rho)$ . :)

En principio se puede invertir y se obtiene la métrica

d s^{2} = - (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r (ρ)}) d t^{2} + d ρ^{2} + r (ρ)^{2} d Ω^{2} .

$\mathrm{d}s^2 = -\left( 1- \frac{2 G M}{r(\rho)} \right) \mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}\rho^2 + r(\rho)^2 \mathrm{d}\Omega^2 .$

Esto ha absorbido el coeficiente frente al $\mathrm{d}r$ a expensas de complicar el resto de la métrica.

levitafero · Answer 2

Si su plan es definir una nueva variable de tiempo

$t'=\sqrt{1+\mu /r} ~t$

entonces cuando tomas la derivada (para ver cómo cambia la métrica) obtendrás

$dt=\frac{dt'}{\sqrt{1+\mu /r}}+\frac{1\mu}{2r^2}\frac{dr}{(1+\mu /r)^{3/2}}$

En otras palabras, cambiará la escala de ambos $t$ y $r$ ya que la función delante de t es una función de ambos, en lugar de solo una función de $t$ como $g(t)$ era. Entonces vas a cuadrar $dt$ y obtener términos cruzados $dt'dr$ , y su métrica ya no será diagonal.

No es un problema per se, pero no es algo que normalmente queramos que suceda.

Supongo que si realmente quisieras intentarlo y hacerlo, te integrarías

$\int dt'=\int \sqrt{1+\mu / r}dt$

pero $r(t)$ en general, de nuevo, tendrías problemas.

EDITAR: Claramente estás siguiendo un texto; mira lo que dicen sobre las coordenadas de Eddington-Finkelstein, creo que eso podría ilustrar el problema. Estas coordenadas provienen de un cambio de escala de la coordenada radial para eliminar la singularidad en el horizonte de eventos.

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dannygoldstein

qmecanico

Respuestas (2)

Miguel

levitafero

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