¿Cuál es el número mínimo de estados puros separables necesarios para descomponer estados separables arbitrarios?

En primer lugar, su problema es una versión especial de un problema más general, a saber, encontrar el número mínimo de estados que minimizan el entrelazamiento de la formación, esto es, dado un estado$\rho$en AB$\equiv \mathbb C^D\otimes \mathbb C^{D'}$, encuentre la descomposición

Su problema es solo la variante de esto donde el estado tiene un entrelazamiento de formación cero.

Este es un problema bien estudiado y, a su vez, un caso especial de la llamada "construcción de techo convexo". Uhlmann , por ejemplo, afirma que para cualquier problema de este tipo, a lo sumo$(DD')^2+1$se necesitan estados para la descomposición óptima (Proposición 2.1).

Es probable que existan mejores límites para el problema especial de entrelazamiento de formación, o el problema dado de estados separables. No pude encontrar ninguno en la literatura, pero uno debería poder probar uno de la siguiente manera:

1. Primero, tenga en cuenta que uno puede relajar la optimización a todas las descomposiciones

   $$\rho=\sum p_i\rho_i\,\tag{1}$$ donde se minimiza$\sum p_i S(\mathrm{tr}_B\rho_i)$, ya que la entropía es cóncava, es decir, el mínimo siempre se alcanzará (también) en puro$\rho_i$.

2. Por lo tanto, podemos considerar en cambio descomposiciones de la matriz de densidad reducida$\rho^A = \sum p_i \rho_i^A$-- tal descomposición surge de una descomposición (1) de$\rho$(por ejemplo, escribiendo$p_i\rho_i^A$como$M_k\rho M_k^\dagger$con un POVM$M_k$y aplicar$M_k\otimes I$a$\rho$).

3. Ahora considere una descomposición óptima$\rho^A = \sum p_i \rho_i^A$. si tiene mas de$D^2$términos, el$\rho_i^A$debe ser linealmente dependiente. Así, podemos disminuir el peso de algunos$\rho_j^A$todo el camino hasta cero cambiando los pesos de todos los demás$\rho_i^A$(acuerdo$p_i\ge0$!). Nuevamente, debido a la concavidad, esto no cambiará el enredo promedio.

4. Ahora nos queda una descomposición óptima$\rho^A=\sum p_i\rho^A_i$con$D^2$términos. Esto produce una descomposición de$\rho$,$\rho=\sum p_i \rho_i$, que minimiza$\sum p_i S(\rho_i^A)$(como se describe en 2.). Ahora podemos descomponer cada$\rho_i$en su base propia (que tiene como máximo$DD'$términos), lo que arroja un total de$D^3D'$términos.

5. Es probable que haya espacio para mejorar: por ejemplo, uno podría reescribir cada uno de los$\rho_i^A$en una base de estados puros$|\phi_{k,i}\rangle\langle\phi_{k,i}|$. Tal base tiene tamaño a lo sumo$D^2+1$($D^2$siendo la dimensión del espacio convexo), y los coeficientes son$\mathrm{tr}(\rho_i^A|\phi_k\rangle\langle\phi_k|)$y por lo tanto positivo. Nuevamente, la convexidad produce una descomposición óptima con puro$\rho_i^A$y$D^2$términos. Solo queda descomponer los correspondientes$\rho_i^B$, lo que da como resultado un total de$(D^2+1)D'$términos.

Como se indicó anteriormente, el teorema de Caratheodory proporciona un límite superior de$(D D')^2$, pero no siempre es estricto. Por ejemplo, para dos qubits uno nunca requiere más de$M=4$términos (ver aquí ). Resulta que el caso general no es trivial y ha sido estudiado en la literatura. Véase, por ejemplo , este artículo y los trabajos allí citados.

Personalmente, estoy interesado en el problema similar de determinar el número mínimo de términos de productos necesarios, pero donde no se requiere que los estados de partido único sean puros. Este problema está menos estudiado y también parece no ser trivial (me había convencido en el pasado de que$\min \{ D^2, D'^2 \}$los términos siempre deberían ser suficientes, pero aparentemente me basé en un argumento falso).

Obviamente, no siempre es posible; considere, por ejemplo, un estado entrelazado puro. En este caso especial, la descomposición es única y contiene un solo término, el propio estado entrelazado.$\rho=\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert$.

Dado un estado arbitrario, puede ser complicado determinar si puede encontrar una descomposición que involucre solo estados separables, pero aquí hay una sugerencia que podría ayudar: podría verificar los valores propios de$\rho$.

1. Cualquier descomposición$\sum_j \lvert\psi_j\rangle\langle\psi_j\rvert$solo puede contener$\lvert\psi_j\rangle$ortogonal a todos los estados propios con valores propios iguales a cero.

2. En caso de que algún subconjunto de valores propios distintos de cero sea degenerado y corresponda a estados entrelazados, puede intentar construir combinaciones lineales de ellos que no estén entrelazados.

He aquí un ejemplo: considere el estado$\rho=\frac{1}{2}(\lvert00\rangle+\lvert11\rangle)(\langle.\rvert)+\frac{1}{2}(\lvert00\rangle-\lvert11\rangle)(\langle.\rvert)$. Tiene dos valores propios distintos,$\frac{1}{2}$y$0$, ambos degenerados. Por lo tanto, ninguna descomposición incluirá los términos$(\lvert01\rangle \pm \lvert10\rangle)(\langle . \rvert)$. Además, dado que los valores propios de$(\lvert00\rangle \pm \lvert11\rangle)(\langle . \rvert)$son degenerados, la matriz de densidad también será diagonal en cualquier base que use una combinación lineal de estos estados. Por ejemplo, podríamos usar

$\{(\lvert 00\rangle+\lvert 11\rangle)\pm(\lvert 00\rangle+\lvert 11\rangle)\}= \{\lvert00\rangle,\lvert11\rangle\}$,

por lo que el estado también se puede escribir$\rho=\frac{1}{2}\lvert00\rangle\langle00\rvert+\frac{1}{2}\lvert11\rangle\langle11\rvert$.