¿La traza parcial es la operación inversa del producto de Kronecker?

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¿La traza parcial es la operación inversa del producto de Kronecker?

rastro
Física
espacio de hilbert
estados-cuánticos
operador de densidad
información cuántica

Andrés

Estudiante de informática aquí, que está interesado en la teoría de la información cuántica.

Supongamos que tengo estos estados puros:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$ y

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$

El producto de Kronecker de estos es:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

Al usar el rastreo parcial, puedo extraer información de los estados originales: y si tuviera que multiplicarlos por tensor nuevamente, obtendría la matriz 4x4 anterior:

A continuación se muestra un código de python corto, que funciona para el ejemplo anterior. Sin embargo, no funciona para estados mixtos, como puede ver a la derecha, en la consola. Si tuviéramos que tensar las dos matrices de densidad de 2x2 extraídas de la matriz de 4x4, no terminaríamos con la matriz original de 4x4. Mi pregunta es que el rastreo parcial solo puede restaurar estados puros sin pérdida de información.

Sunyam

Comentario rápido: cuando el estado del sistema con dos subsistemas (

i = 1, 2

$i=1,2$ ) es un estado entrelazado, la medida de información mutua es finita, es decir,

I [ρ_{1 + 2}^{}] = - \sum_{i \neq j = 1, 2}^{} T r_{i} [T r_{j} [ρ_{1 + 2}^{}] \ln T r_{j}^{} [ρ_{1 + 2}^{}]] + T r_{1 + 2}^{} [ρ_{1 + 2}^{} \ln ρ_{1 + 2}^{}] \neq 0

$I[\rho_{1+2}^{}]=-\sum_{i \neq j =1,2}^{}Tr_{i}[Tr_{j}[\rho_{1+2}^{}]\ln Tr_{j}^{}[\rho_{1+2}^{}]]+Tr_{1+2}^{}[\rho_{1+2}^{}\ln \rho_{1+2}^{}] \neq 0$ . Pero el estado del producto directo que está construyendo a partir de matrices de densidad parcialmente rastreadas claramente no tiene información mutua.

mavzolej

Le sugiero que consulte la Sección 2.4.3 de Nielsen & Chuang, o cualquier otro texto estándar sobre información cuántica. En resumen, el seguimiento parcial sobre un cierto subespacio en el producto tensorial tiene el significado de promediar sobre ese subespacio. (En lo que sigue, por 'estado' me refiero a matriz de densidad). Si su estado no está enredado, es decir, es un estado de producto tensorial, entonces hacer un seguimiento parcial de un cierto subespacio es equivalente a descartar el factor correspondiente del producto y dejar todos los demás términos sin cambios. Para los estados enredados, la situación es más complicada.

Respuestas (1)

¿La traza parcial es la operación inversa del producto de Kronecker?

Comentario rápido: cuando el estado del sistema con dos subsistemas ( $i=1,2$ ) es un estado entrelazado, la medida de información mutua es finita, es decir, $I[\rho_{1+2}^{}]=-\sum_{i \neq j =1,2}^{}Tr_{i}[Tr_{j}[\rho_{1+2}^{}]\ln Tr_{j}^{}[\rho_{1+2}^{}]]+Tr_{1+2}^{}[\rho_{1+2}^{}\ln \rho_{1+2}^{}] \neq 0$ . Pero el estado del producto directo que está construyendo a partir de matrices de densidad parcialmente rastreadas claramente no tiene información mutua.
Le sugiero que consulte la Sección 2.4.3 de Nielsen & Chuang, o cualquier otro texto estándar sobre información cuántica. En resumen, el seguimiento parcial sobre un cierto subespacio en el producto tensorial tiene el significado de promediar sobre ese subespacio. (En lo que sigue, por 'estado' me refiero a matriz de densidad). Si su estado no está enredado, es decir, es un estado de producto tensorial, entonces hacer un seguimiento parcial de un cierto subespacio es equivalente a descartar el factor correspondiente del producto y dejar todos los demás términos sin cambios. Para los estados enredados, la situación es más complicada.

glS · Answer 1

Es en el sentido de que dado cualquier par de estados $\rho$ y $\sigma$ , tienes

\begin{aligned} {Tr}_{2} (ρ \otimes σ) & = ρ, \\ {Tr}_{1} (ρ \otimes σ) & = σ . \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Tr}_2(\rho\otimes\sigma)&=\rho,\\ \operatorname{Tr}_1(\rho\otimes\sigma)&=\sigma. \end{align}$ Esto sucede porque

ρ \otimes σ

$\rho\otimes\sigma$ representa un producto de estados, en el que las dos partes del sistema son independientes entre sí.

Sin embargo, en cuanto se tiene enredo, esto deja de ser cierto. En términos matemáticos, deja de ser cierto tan pronto como tomas la traza parcial de una suma de productos tensor/kronecker.

Por ejemplo, si $E_+$ y $E_-$ denote las dos matrices bidimensionales que definió, entonces puede verificar fácilmente que tomando la traza parcial de

{mi}_{+} \otimes {mi}_{+} + {mi}_{-} \otimes {mi}_{-}

$E_+\otimes E_++E_-\otimes E_-$ te da algo completamente diferente a ambos

E_{+}

$E_+$ y

E_{-}

$E_-$ .

¿La traza parcial es la operación inversa del producto de Kronecker?

Andrés

Sunyam

mavzolej

Respuestas (1)

glS

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