Ley de circuito de Ampere para alambre infinitamente largo

Si lee la nota al pie que se da que dice

Si$\mathbf{J}$se extiende hasta el infinito (como en el caso de un alambre recto infinito), la integral de superficie sigue siendo típicamente cero, aunque el análisis requiere mayor cuidado.

Aunque la ley de Ampere se cumple generalmente en magnetostática.

Aquí hay un poco del método de agitar la mano dado por Purcell en su libro,

Considere una trayectoria circular que encierra el alambre,

Aquí la circunferencia es$2\pi r$, y el campo es$\mu_0 I/2\pi r$y en todas partes paralelo al camino, por lo que el valor de la integral de línea alrededor de este camino en particular es$(2\pi r)(\mu_0 I/2\pi r)=\mu_0 I$. Podemos extender esto para cualquier ciclo distorsionando el ciclo.

Ahora afirmamos que cualquier camino que pase una vez alrededor del cable debe dar el mismo valor. Consideremos, por ejemplo, el camino torcido$C$en la Fig. Construyamos el camino$C'$en la siguiente figura hecha de un camino como$C$y una trayectoria circular pero que no encierra el alambre. La integral de línea alrededor$C'$debe ser cero y por lo tanto la integral alrededor$C$debe ser el negativo de la integral alrededor del círculo, que ya hemos evaluado como$\mu_0 I$en magnitud. La señal dependerá del sentido de recorrido del camino.

Nuestra conclusión general es

La ley de Biot-Savart en forma infinitesimal dice

dónde$a>0$es una constante que depende del sistema de unidades que estés usando,$I$es la intensidad de la corriente y$\vec{dl}$es un vector que representa la longitud y la dirección de la corriente de una pequeña porción de un cable que puede considerarse recto. Si sabe un poco sobre la distribución Dirac Delta, debería poder demostrar que la ley BS no es más que

ver, por ejemplo, https://en.m.wikipedia.org/wiki/Biot%E2%80%93Savart_law

Tenga en cuenta que la ecuación anterior es local y fundamental (es la versión estacionaria de una de las ecuaciones de Maxwell), y no se ha hecho ninguna suposición sobre la distribución de corrientes.$\vec{J}$(nótese que la ecuación de continuidad$\nabla \cdot \vec{J} =0$debe estar satisfecho con la corriente asignada si desea poder resolver la ecuación: simplemente tome la divergencia de los lados izquierdo y derecho). Se pueden invocar supuestos técnicos de un caso a otro, pero en principio la prescripción dada por la ley BS es clara: siempre que se pueda dividir el cable en segmentos rectos infinitesimales, aquí está la contribución local al campo. Solo tienes que hacer una suma sobre el cable (con la integral). El único requisito es que la corriente debe conservarse, por lo que puede tener bucles o cables que se extienden hasta el infinito (si un cable se divide, entonces las "ramas" deben transportar colectivamente la misma cantidad de corriente).