Sobre la aplicabilidad de la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart

Question

Sobre la aplicabilidad de la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart

Física
electrostática
magnetostática
electromagnetismo
electrodinámica-clásica

Anónimo

Las ecuaciones de Jefimenko son

mi (r, t_{r}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int [ρ (r^{'}, t_{r}) \frac{r - r^{'}}{{| r - r^{'} |}^{3}} + \dot{ρ} (r^{'}, t_{r}) \frac{r - r^{'}}{C {| r - r^{'} |}^{2}} + \dot{j} (r^{'}, t_{r}) \frac{1}{C^{2} | r - r^{'} |}] d τ^{'}

$\textbf{E}(\textbf{r}, t_r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \left[\rho\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^3} + \dot{\rho}\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{c\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^2} + \dot{\textbf{J}}\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{1}{c^2\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|}\right] d\tau'$

y

B (r, t_{r}) = \frac{m_{0}}{4 π} \int [j (r^{'}, t_{r}) \times \frac{r - r^{'}}{{| r - r^{'} |}^{3}} + \dot{j} (r^{'}, t_{r}) \times \frac{r - r^{'}}{C {| r - r^{'} |}^{2}}] d τ^{'},

$\textbf{B}(\textbf{r}, t_r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \left[\textbf{J}\left(\textbf{r}', t_r\right)\times\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^3} + \dot{\textbf{J}}\left(\textbf{r}', t_r\right)\times\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{c\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^2}\right] d\tau',$

dónde $t_r = t - \dfrac{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|}{c}$ es el tiempo retardado.

Griffiths afirma que la ley de Coulomb se cumple cuando "todas las cargas fuente son estacionarias ". Sin embargo, la primera de las ecuaciones de Jefimenko nos dice que todo lo que se requiere para que se cumpla la ley de Coulomb es $\dot{\rho} = 0$ y $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . Me parece digno de mención que ninguna de las condiciones $\dot{\rho} = 0$ y $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ implica el otro. Si bien es cierto que

Sin gastos de mudanza ⟹ [\dot{ρ} = 0 y \dot{j} = 0],

$\textrm{No moving charges} \implies \left[\dot{\rho} = 0 \; \textrm{ and } \; \dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}\right],$ lo contrario no se cumple y, por lo tanto, Griffiths nos proporciona una condición innecesariamente fuerte para que la ley de Coulomb sea válida.

Griffiths también nos proporciona una condición innecesariamente fuerte para que se cumpla la ley de Biot-Savart, a saber, la condición mínima para que se cumpla la ley de Coulomb, $\dot{\rho} = 0$ y $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . De la segunda ecuación de Jefimenko, se ve que el requisito mínimo para que se cumpla la ley de Biot-Savart es solo $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . Esto es bastante notable considerando que uno podría esperar ingenuamente que cualquier carga acumulada produzca un campo eléctrico cambiante que produciría un campo magnético que dependería de la acumulación de carga.

Creo que he dejado en claro por qué no confío en que los autores me den la imagen completa de inmediato. (Tal vez esté justificado en el caso de Griffiths, aunque no estoy contento con eso). Jackson afirma que la ley de Coulomb es válida cuando $\dot{\rho} = 0$ , $\dot{\textbf{E}} = 0$ , y $\dot{\textbf{B}} = 0$ ; No estoy seguro de cómo pretende definir la magnetostática, que considero que es su condición para que se cumpla la ley de Biot-Savart, pero lo que está claro es que una cosa que caracteriza a la magnetostática es $\dot{\rho} = 0$ . Si alguien pudiera ofrecer su interpretación completa de cómo Jackson pretende definir la magnetostática, sería genial.

La pregunta: ¿Son mínimas las condiciones de Jackson para que se cumpla la ley de Coulomb? ¿Son sus condiciones (cualesquiera que sean) para que la ley de Biot-Savart sea mínima?

Respuestas (1)

Sobre la aplicabilidad de la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart

parker · Answer 1

Como usted dice. la ley de Biot-Savart se cumple siempre que $\dot{\bf J} \equiv {\bf 0}$ , incluso si ${\bf \nabla} \cdot {\bf J} \neq {\bf 0}$ y entonces $\rho$ cambia linealmente en el tiempo. La suposición $\dot{\rho} \equiv 0$ no es necesario. Además, desde ${\bf J}({\bf x}, t) \equiv {\bf J}({\bf x}, t_r)$ en este caso, trivialmente tenemos que la versión instantánea de la ley de Biot-Savart se cumple exactamente.

Su intuición es correcta de que la acumulación de carga induce un campo eléctrico cambiante que induce una parte del campo magnético. Sin embargo, resulta que incluso incorporando este efecto de inducción, cuando $\dot{\bf J} \equiv 0$ la ley BS sigue siendo válida. Cuando derivas la ley BS de la ley de Ampere, hay un término ${\bf \nabla} \cdot {\bf J}$ eso generalmente se descarta porque asumimos que los cargos no se están acumulando. Si mantenemos ese término, encontramos que si $\dot{\bf J} \equiv 0$ entonces cancela exactamente el efecto de inducción electromagnética del campo eléctrico cambiante, de modo que la ley BS aún se cumple exactamente.

Mucho más sorprendente, la suposición $\dot{\rho} \equiv 0$ tampoco es necesario que se cumpla la ley de Coulomb, a pesar de la apariencia de $\dot{\rho}$ en la primera ecuación de Jefimenko. Mientras $\dot{\bf J} \equiv {\bf 0}$ , el segundo término de la ecuación cancela exactamente el efecto de retardo, y la versión instantánea de la ley de Coulomb se cumple exactamente, ¡aunque la densidad de carga cambie con el tiempo! Esta es una de esas situaciones en las que EM superficialmente parece no local, pero en realidad sigue siendo completamente local, y se analiza en detalle aquí .

TLDR: tanto la ley de Coulomb como la ley de Biot-Savart se cumplen exactamente si $\dot{\bf J} \equiv 0$ , incluso si $\dot{\rho} \neq 0$ .

En cuanto a la definición general de "magnetostática", ya hiciste esa pregunta y la respondí aquí . ¿Debería describir una situación electrodinámica como "magnetostática" si la inducción electromagnética del campo eléctrico cambiante hace que la ley de Biot-Savart se cumpla exactamente? Probablemente no lo haría, pero eso es solo preferencia personal. No existe una definición estandarizada del término "magnetostático" lo suficientemente precisa como para incluir o excluir definitivamente este caso extremo inusual.

Lo que quise decir es que no demostraste eso. $\left[\dot{\rho} = 0, \mathbf{E} = \mathbf{0} \textrm{ and } \mathbf{B} = \textbf{0}\right] \implies \dot{\mathbf{J}} = \mathbf{0}$ y que lo contrario es falso.
@PiKindOfGuy $\dot{\bf E} = \dot{\bf B} = {\bf 0}$ es suficiente para demostrar que $\dot{\bf J} = {\bf 0}$ : basta con tomar la derivada temporal de la ley de Ampere. Expliqué por qué lo contrario es falso en mi comentario anterior.

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Anónimo

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usuario113773

parker

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