¿Puede la ecuación de amplitud máxima total An=A21+A22+2A1A2cos(Δϕ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√An=A12+A22+2A1A2cos⁡(Δϕ) A_n=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\phi)} aunque las ondas no estén en la misma línea

Dejar$S_1$y$S_2$colocado en el mismo punto sea la fuente de dos ondas que se propagan en la misma línea, también la diferencia de fase entre las dos ondas$\Delta\phi=0$. La ecuación de las dos ondas está dada por$y_1=A_1\sin(\omega t-kx)$y$y_2=A_2\sin(ωt-kx)$respectivamente.

Ahora a la distancia$x_1$de las fuentes, las ecuaciones de SHM de una partícula se vuelven

$$\begin{align} y_1=A_1\sin(\omega t-kx_1) \quad \text{(for wave 1)} \\ y_2=A_2\sin(\omega t-kx_1) \quad \text{(for wave 2)} \end{align}$$ la ecuación resultante de SHM se obtiene simplemente sumando las dos ecuaciones $$y_n=A_1\sin(\omega t-kx_1)+A_2\sin(\omega t-kx_2)$$

Como está escrito en mi libro, la ecuación se puede representar como$y_n=A_n\sin(\omega t-kx_1-\theta)$dónde$A_n$es el desplazamiento máximo neto debido a las dos ondas y$\theta$es diferencia de fase. Encontrar$A_n$y$\theta$, tratamos$A_1$y$A_2$como vector y considere que el ángulo entre ellos es el mismo con la diferencia de fase de dos SHM$\Delta\phi$.

De acuerdo con lo anterior

$$A_n =\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\phi)}.$$ La ecuación es buena cuando las ondas están en la misma línea. Porque si$\Delta\phi=0$luego, el desplazamiento de cada onda simplemente se suma y da el desplazamiento total que también se puede encontrar mediante la ecuación anterior $$A_n= \sqrt{(A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(0)}= \sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2} =A_1+A_2$$

También la fórmula es efectiva cuando las ondas están en la misma línea y la fase de dos MAS difieren por$\pi$ya que aquí el desplazamiento total es la resta de dos desplazamientos debido a las ondas individuales. Creo que la ecuación es válida para cualquier otro caso donde las ondas estén en la misma línea aunque no encuentro ninguna razón por la cual el ángulo entre$A_1$y$A_2$el desplazamiento sería igual a la diferencia de fase de dos SHM debido a las ondas.

Aunque he visto en los dos casos anteriores, es indudablemente aplicable ya que cuando la diferencia de fase es 0, las direcciones de los dos desplazamientos son las mismas y cuando la diferencia de fase es$\pi$, podemos restar el desplazamiento menor del mazor ya que las direcciones de los desplazamientos son opuestas . Esos dos casos muestran que podemos tomar$A_1$y$A_2$como vector, también diferencia de fase$\Delta\phi$puede tomarse como el ángulo entre$A_1$y$A_2$. Pero cuando pensamos en otros casos en los que la diferencia de fase no es$0$o$\pi$pero el ángulo entre el desplazamiento es$0$o$\pi$(cuando las partículas van en la misma dirección el ángulo es$0$y cuando van opuestos el ángulo es$\pi$) (nota: supongo que las ondas están en la misma línea)

Entonces, en esos casos, ¿por qué usamos la diferencia de fase?$\Delta\phi$como el ángulo entre$A_1$y$A_2$en lugar de$0$y$\pi$.

Otro problema con la ecuación que encuentro cuando pienso en un caso en el que las ondas no están en la misma línea.

Sea la ecuación de dos ondas$y_1=A_1\sin(\omega t-kx)$y$y_2=A-2\sin(\omega t-kx)$respectivamente. Ahora las dos ondas se superponen en el punto$P$con el ángulo$\pi/2$significa que las ondas son perpendiculares entre sí. sea ​​la distancia recorrida por la primera onda para llegar al punto$P$ser igual a la distancia recorrida por la segunda onda para llegar al punto$P$. si la distancia es$x_1$
entonces la ecuación de de MAS de una partícula en el punto$P$(el punto de superposición) se convierten

$$\begin{align} y_1=A_1\sin(\omega t-kx_1) \quad \text{(for wave 1)} \\ y_2=A_2\sin(\omega t-kx_1) \quad \text{(for wave 2)} \end{align}$$

Podemos ver claramente que la diferencia de fase entre dos SHM$\Delta\phi$es$0$como la diferencia de camino$∆x$es$0$.

Entonces, de acuerdo con mi libro, la ecuación del MAS resultante está dada por

$$\begin{align} y_n&=y_1+y_2 \\ &=A_1\sin(\omega t-kx_1)+A_2\sin(\omega t-kx_2) \\ &=A_n\sin(\omega t-kx_1-θ) \end{align}$$

Y

$$\begin{align} A_n&=\sqrt{(A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\phi)} \\ &=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(0)} \quad \text{(as phase difference is 0)} \\ &=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2)} \\ &=A_1+A_2 \end{align}$$

Pero si imaginamos la situación encontraremos el ángulo entre$A_1$y$A_2$es$\pi/2$como las ondas se superponen por el ángulo de$\pi/2$. Entonces el valor de$A_n$debe ser igual a

$$\begin{align} A_n&= \sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(π/2)} \\ &=\sqrt{A_1^2+A_2^2} \quad \text{(as two SHM are same phase so when $y_1=A_1$, $y_2=A_2$)} \end{align}$$

Eso no coincide con lo anterior que obtuve usando la fórmula de mi libro.

Por favor explique las dos cosas.

• ¿Por qué tomamos el ángulo entre el vector A₁ y A₂ como la diferencia de fase de dos MAS de partículas medianas en el punto de superposición?
• ¿Puede la ecuación de la amplitud máxima total$Aₙ=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\phi)}$utilizarse aunque las ondas no estén en la misma línea.