¿Por qué las partículas están en movimiento armónico en modos normales?

¿Por qué asumimos que en modos normales, las partículas oscilan en forma cos (wt)?

¿Cómo sabemos que el movimiento general de las partículas puede expresarse como una superposición de modos normales?

Tanto en francés como en Crawford, la suposición de movimiento armónico se hace sin ninguna prueba, por favor ayuda.

Necesitas precisar el contexto. Ver también la definición de movimiento armónico y modos normales
para ser más precisos, cuando tenemos osciladores acoplados y escribimos la segunda ley de newton para ellos, ¿por qué ponemos x = acos (wt) para sus posiciones?
¿Tu pregunta no está respondida aquí? en.wikipedia.org/wiki/Normal_mode#Coupled_oscillators

Respuestas (1)

En la mayoría de los casos, esto está relacionado con la suposición de pequeños desplazamientos del equilibrio. Suponga que el sistema está descrito por una función potencial V ( s ) , dónde s representa las coordenadas asociadas con los modos normales. Dejar s 0 representan el valor de las coordenadas del estado de equilibrio. Taylor expandiendo el potencial sobre este punto produce

V ( s − s 0 ) ≈ V ( s 0 ) + V ′ ( s 0 ) ( s − s 0 ) + ( 1 / 2 ) V ″ ( s 0 ) ( s − s 0 ) 2 + . . .

La característica clave es que sabemos V ′ ( s 0 ) = 0 , ya que esa es la definición de equilibrio. También podemos ignorar el primer término ya que es independiente del estado del sistema.

Así, la forma resultante de la ecuación de movimiento de la forma

0 = s ¨ + ω 2 s 2

con ω 2 una función de V ″ ( s 0 ) y las masas/momentos de inercia del sistema. Esta ecuación tiene pecado ⁡ ( ω t ) , C o s ( ω t ) como sus soluciones.

Así, el movimiento armónico simple es una característica genérica de pequeñas oscilaciones sobre cualquier equilibrio mecánico.

¿Existen sistemas comunes en los que la segunda derivada del potencial también sea cero, de modo que la primera aproximación nos dé una ecuación diferencial de tercer orden para la ecuación de movimiento?
No conozco ninguna situación común en la que la segunda derivada también sea cero; pero es un caso extremo importante del que uno debe ser consciente.
@MarkAllen: todas las posiciones en las que la primera derivada que no desaparece es de orden impar son inestables, ya que una ligera perturbación alejaría el sistema de este punto. Además, el orden del primer término que no se desvanece no tiene nada que ver con las derivadas en el eom. Supongamos que el primer término que no se desvanece fuera V I V , entonces el eom se leería 0 = s ¨ + ξ 4 s 4 (con una constante ξ ) que no describe una oscilación armónica. Sin embargo, tal situación es bastante... artificial.
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