¿Puede el producto tensorial de dos espacios funcionales considerarse como un espacio funcional?

El conjunto$V_N$de funciones$\mathbb{R}^{3N}\to (\mathbb{C}^4)^{\otimes N}$tiene una estructura natural de espacio vectorial complejo inducida por

$$(a\psi + b\phi)(\vec{x}) := a \psi(\vec{x})+ b\phi(\vec{x}) \quad \mbox{for every $\vec{x} \in \mathbb{R}^{3N}$}$$ dónde $a,b \in \mathbb C$y $\psi,\phi$son mapas $\mathbb{R}^{3N}\to (\mathbb{C}^4)^{\otimes N}$. En particular, esto se aplica a $V_1$. Por lo tanto $V_1\otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots\otimes V_1$es un espacio vectorial complejo bien definido. Es fácil probar que el mapa $$f: V_1\times \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \times V_1 \ni (\psi_1, \ldots, \psi_N) \to \Psi \in V_{N}$$ tal que $$\Psi(\vec{x}, \ldots, \vec{x}_n) := \psi_1(\vec{x}_1) \otimes \cdots \otimes \psi_1(\vec{x}_N) \quad \mbox{for every $\vec{x_i}\in \mathbb R^3$}$$ (el producto tensorial es aquí el que hay entre los espacios $\mathbb C^4$) es multilineal . La propiedad universal del producto tensorial implica que existe un único mapa lineal $$f_\otimes: V_1\otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \otimes V_1 \to V_{N}$$ tal que $$f_\otimes: V_1 \otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \otimes V_1 \ni (\psi_1, \ldots, \psi_N) \to \Psi \in V_{N}\:.$$ (El producto tensorial anterior es el de espacios de funciones $V_1$no de fibras $\mathbb C^4$.) El mapa $f_\otimes$es el homomorfismo lineal que está buscando. En efecto, $f_\otimes$es inyectiva y así tienes la identificación que buscas. Desafortunadamente no tengo mucho tiempo para arreglar detalles, pero la forma de probar la inyectividad debería ser así.

Si$\{\psi_k\}_{k \in K}$es una base Hamel de$V_1$(El lema de Zorn asegura que existe), es fácil probar que$\{\psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}\}_{k_1,\ldots, k_N \in K}$es una base Hamel de$V_1 \otimes \cdots \otimes V_1$ $N$veces. Por construcción, resulta que el núcleo de$f_\otimes$está hecho de las combinaciones lineales finitas

$$\sum_{k_1,\ldots, k_N \in K} C^{k_1\ldots k_N} \psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}=0$$ Desde $\{\psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}\}_{k_1,\ldots, k_N \in K}$es una base de Hamel, concluimos que cada $C^{k_1\ldots k_N}=0$y por lo tanto $Ker(f_\otimes)= \{0\}$.

ANEXO . La construcción sobrevive a la introducción de topologías naturales y se refiere a estructuras topológicas de producto tensorial asociadas. P.ej,$V_N$puede equiparse con una estructura espacial natural de Hilbert y$f_\otimes$puede definirse, con adaptaciones elementales, como un homomorfismo espacial de Hilbert.

Conforme a la notación de Valter$V_N=\{\mathbb R^{3N}\to (\mathbb C^4)^{\otimes N}\}$Creo que hay una correspondencia uno a uno entre$V_N$y$V_1^{\otimes N}$porque

$$\mathrm{dim } \,V_1=(\mathrm{dim }\, \mathbb C^4)^{\left|{\mathbb R^3}\right|}$$ además $$\mathrm{dim }\,V_1^{\otimes N}=(\mathrm{dim }\,V_1)^N=(\mathrm{dim } \,\mathbb C^4)^{N\left|{\mathbb R^3}\right|}$$ mientras $$\mathrm{dim }\,V_N=(\mathrm{dim }\,((\mathbb C^4)^{\otimes N}))^{\left| \mathbb R^{3N}\right|}=(\mathrm{dim }\, \mathbb C^4)^{N\left|{\mathbb R^{3N}}\right|}$$ pero desde $\left|\mathbb R^3\right| =\left|\mathbb R^{3N} \right|$tienen la misma dimensión ( $2^\mathfrak c$) por lo tanto son isomorfos.