Factorización de exponencial de generadores rotos en parametrización de multiplete escalar en SSB no abeliana

Al describir la ruptura de la simetría abeliana en su libro sobre teorías gauge, después de favorecer un vacío (cuyo valor esperado es$v$) del continuo simétrico, Quigg parametriza el escalar complejo como

$$\phi=e^{i\frac{\zeta}{v}}\frac{v+\eta}{\sqrt{2}} \tag{1}$$

Luego procede a usar la libertad de calibre para eliminar el Goldstone (el bosón de calibre es irrelevante para mi duda aquí) con una transformación cuyo parámetro de calibre es$\alpha=-\frac{\zeta}{v}$.

Mi problema es el caso no abeliano. Supongamos que un$SU(2)$modelo en el que los subgrupos abelianos correspondientes a los dos primeros generadores$T_1$y$T_2$estaban rotos. Entonces, análogamente a (1), lo que se hace es escribir el campo como

$$\phi=e^{\frac{i}{v}(\zeta_1T_1+\zeta_2T_2)} \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ v +\eta\end{matrix} \right) \tag{2}$$

después de lo cual pasamos al ancho de vía U por medio de una transformación de ancho con parámetro$\vec{\zeta}=-\frac{1}{v}(\zeta_1, \zeta_2, 0)$.

No entiendo la ecuación (2). Está claro que lo que hacemos después de cambiar el componente de vacío alrededor de su valor esperado es escribir el campo como el vector resultante sobre el que actúa la exponencial de una combinación lineal arbitraria de los generadores rotos, pero no sé por qué ese es el caso. Al principio, la ecuación (1) me pareció que simplemente escribía el campo en forma polar, por conveniencia, ya que es absoluta y obviamente general. Entonces esperaría que (2) sea nuevamente solo una forma general de expresar un vector arbitrario complejo de 3 componentes , pero no puedo ver por qué esto es un hecho general. Es decir, el tercer componente es atendido por el 'arbitrario'$\eta$, pero no sé si los dos primeros son atendidos por la exponencial.

Por supuesto, mi forma de pensar y de interpretar (1) podría estar simplemente equivocada. Entonces, ¿por qué la exponencial en (2) lleva solo los generadores rotos?

(Editar) Ejemplo: En su libro, Frampton trata con un$SO(N)$modelo: rompiendo el (subespacio asociado de) primero$N-1$generadores, elige el vacío

$$\phi_0=\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ v+\eta \end{matrix}\right)$$

y usando los generadores explícitos$(L_{ij})_{kl}=-i(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})$muestra que podemos parametrizar

$$\phi=\exp\left({\frac{i}{v}\sum_{i=1}^{N-1}\xi_{i}T_i}\right)\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ v+\eta \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \xi_1 \\ ... \\ \xi_{N-1} \\ v+\eta \end{matrix}\right)$$

dónde$T_i \equiv L_{iN}$. Después de esto, pasa al ancho de vía en U por el procedimiento estándar. El punto es que en este ejemplo lo que sucede es exactamente lo que yo tenía la impresión de ser el caso: el (argumento imaginario) exponencial de una combinación lineal de los generadores rotos sucede, cuando actúa sobre el vacío, genera un general ( módulo el hecho de que el$\xi_i$parecen ser fases) vector en el$N-1$primeras entradas. ¿Qué tan general es esto y por qué?

(Edit2): Hace mucho tiempo acepté la respuesta a continuación (que es muy reflexiva y muy apreciada), pero al volver a leerla ahora me doy cuenta de que en realidad nunca la entendí. Intentaré identificar algunas confusiones específicas mías al respecto (por supuesto, también puede ignorar esta parte de la pregunta y responder su núcleo, arriba, si cree que la respuesta a continuación es inadecuada).

(i) Tome el pasaje " Los campos que se transforman bajo G proporcionan una representación y son elementos de G. Luego, puede hacer la identificación ϕ=g y aplicar la descomposición Eq. (1). ": ¿Cómo se transforman los campos bajo alguna representación? identificable con los elementos de la representación misma (hasta el punto de equipararse formalmente a la forma de las transformaciones)?

(ii) La ecuación (1) parece ser un resultado bastante general y poderoso. ¿Cuál es su validez (es decir, existen otras condiciones además de las establecidas para que funcione) y cómo se probaría?

TL; DR Pregunta: Para plantear brevemente la pregunta: la belleza operativa con el formalismo de Higgs es que es fácil ir al calibre unitario donde los Goldstones manifiestamente se desacoplan por medio de una transformación de calibre, pero ¿cómo y por qué uno siempre puede parametrizar un expansión general del campo alrededor del vacío favorecido como algo así como

$$\text{exp}\left\{i\sum_{\text{broken}} \xi_i T^i\right\}\left(\begin{matrix} ... \\ v+H \end{matrix}\right),$$

dónde$T_i$son los generadores y$H$es el 'Higgs', por lo que una transformación de calibre puede cancelar el exponencial y el espectro es obvio.