¿Simetría rota a una subálgebra especial?

Esta es una continuación de mi pregunta aquí .

  • Para las subálgebras regulares del álgebra de Lie de algún grupo, el sistema de raíces de la subálgebra es un subconjunto del sistema de raíces del álgebra de grupo original. En otras palabras, los generadores de la subálgebra son un subconjunto de los generadores del grupo original.
  • Las subálgebras cuyo sistema de raíces no es un subconjunto del sistema de raíces del álgebra original se denominan subálgebras especiales . Por lo tanto, los generadores no son un subconjunto de los generadores de grupo del original.

Usando el mecanismo de Higgs, como lo explicó muy bien @Heterotic en la pregunta que vinculé anteriormente, simplemente verificamos qué generadores permanecen intactos después de que uno o más campos de Higgs obtienen un vev. Entonces:

"El subgrupo restante después de la ruptura de la simetría es simplemente el grupo generado por los generadores ininterrumpidos".

Esto ciertamente es correcto para las subálgebras regulares, pero ¿cómo funciona esto para las subálgebras especiales? ¿Cómo podemos determinar que rompimos con una subálgebra especial dando un vev a un campo de Higgs, si los generadores de la subálgebra no son un subconjunto de los generadores de grupo del original?

Podría ser más fácil considerar una respuesta si proporcionara un ejemplo simple, conciso y explícito de una subálgebra especial de un álgebra de mentira pequeña. Su definición de tal es desconcertante prima facie.

Respuestas (1)

Las subálgebras cuyo sistema de raíces no es un subconjunto del sistema de raíces del álgebra original se denominan subálgebras especiales. Por lo tanto, los generadores no son un subconjunto de los generadores de grupo del original .

Eso no es del todo correcto. Una subálgebra especial es aquella en la que sus operadores de paso no forman un subconjunto de los operadores de paso del álgebra. Eso es lo que significa que un sistema raíz no es un subconjunto de otro sistema raíz. No implica que los generadores de subálgebra no sean un subconjunto de los generadores de álgebra.

Ejemplo: Considere la representación tridimensional de gramo = s tu ( 3 ) , cuyos generadores T a = λ a / 2 , dónde λ a son las matrices de Gell-Mann . Los operadores de paso son

mi ± α 1 = T 1 ± i T 2 , mi ± α 2 = T 6 ± i T 7 , mi ± ( α 1 + α 2 ) = T 4 ± i T 5 ,
Incrustaciones regulares: Los generadores T 1 , T 2 y T 3 formar una subálgebra s tu ( 2 ) . Los operadores de paso de esta subálgebra son t ± = T 1 ± i T 2 = mi ± α 1 . Los operadores de paso de subálgebra forman un subconjunto de los operadores de paso de álgebra.

Empotrado especial: Otro s tu ( 2 ) subálgebra está dada por T 2 , T 5 y T 7 . En este caso los operadores de paso son t ± = T 5 ± i T 7 que no se puede escribir en términos de los operadores de paso de s tu ( 3 ) .

Observe que las reglas de bifurcación para la primera incrustación son 3 = 2 ⊕ 1 mientras que para el segundo es 3 = 3 .

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