Prueba teórica del principio de exclusión de Pauli

Inicialmente, el principio de exclusión de Pauli impuesto para los fermiones fue una concepción puramente fenomenológica introducida para explicar hechos experimentales. La razón es que no existe una descripción teórica bien definida de la relación entre el espín y la estadística en la mecánica cuántica no relativista (dentro de la cual Pauli ha formulado inicialmente su principio). Pero surge en la teoría cuántica relativista. Voy a tratar de explicar estas cosas a continuación.

Cualitativamente sobre las estadísticas.

En el espacio tridimensional solo hay dos posibilidades para el comportamiento de la función de onda.$\psi(\mathbf x_{1},\mathbf x_{2})$de las dos partículas idénticas bajo el cambio adiabático de sus posiciones debido a que las partículas se vuelven a intercambiar. Bajo esta acción, la función de onda de dos partículas solo se puede cambiar como

$$\tag 1 \psi(\mathbf x_{1},\mathbf x_{2}) \to \pm \psi(\mathbf x_{2},\mathbf x_{1})$$ Tenga en cuenta que esta propiedad se deriva de la topología del espacio de fase relativo del estado de dos partículas en el espacio tridimensional y no tiene nada que ver con ningún otro argumento (en particular con el experimento). Este es un argumento puramente teórico.

Cualitativamente sobre el giro.

El espín es la cantidad cuya importancia surge fundamentalmente de la simetría de Poincaré de nuestro mundo. Aparte de su sentido físico, es el número cuántico por el cual caracterizamos matemáticamente cada partícula (al menos masiva) debido a sus propiedades de transformación bajo el grupo de Poincaré. A través de las representaciones del grupo de Poincaré, se relaciona la descripción del giro con la topología del espacio-tiempo.

La relación entre el giro y las estadísticas.

Entonces, ¿dónde se encuentran estas dos concepciones, el giro y la estadística? ¿Cómo afecta el giro a las estadísticas (y viceversa) y, en particular, cómo se deduce de esto el principio de exclusión de Pauli? Desde el primer punto de vista, cualquier relación entre ellos es antinatural, al menos desde el punto de vista de la topología. Sin embargo, en realidad la relación existe.

La invariancia de Poincaré de la teoría cuántica requiere que la densidad hamiltoniana$\hat{H}(x)$de la teoría debe conmutar consigo mismo por intervalos similares al espacio:

$$\tag 2 [\hat{H}(x),\hat{H}(y)] = 0 \quad \text{for} \ (x-y)^2<0$$ El hamiltoniano se compone de los operadores de campo $\hat{\psi}_{a}(x), \hat{\psi}_{b}(y)$cuantificado en términos de operadores de creación-destrucción $\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}^{\dagger}(\mathbf p, s)$de las partículas con espín arbitrario $s$. De la relación $(1)$sabemos que los operadores de creación-destrucción deben obedecer $$\tag 3 [\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}(\mathbf k, s)]_{\pm} =0,\quad [\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}^{\dagger}(\mathbf k, s)]_{\pm} \sim \delta(\mathbf p -\mathbf k)$$ Tenga en cuenta que esta declaración es puramente teórica y no tiene nada que ver con la fenomenología. Teniendo en cuenta ambos $(2),(3)$, obtenemos que $$\tag 4 [\hat{\psi}_{a}(x),\hat{\psi}_{b}(y)]_{\pm} = 0, \quad (x-y)^{2} < 0$$ La estructura de los operadores de campo está completamente fijada por sus propiedades de transformación y, en particular, por el valor de espín. La expresion $(4)$es el lugar donde el giro y las estadísticas se encuentran. Tratándolo analíticamente, se obtiene el principio de exclusión de Pauli.

¿Por qué no existe la relación entre el espín y la estadística en la mecánica cuántica no relativista?

En el espíritu de las declaraciones escritas anteriormente, no es difícil entender por qué en la física no relativista la relación spin-estadística no tiene base teórica y puede ser solo fenomenológica. La razón es que en la física no relativista no existe un requisito similar a$(2)$. En realidad, la transformación del grupo ortócrono de Galilei, que (traducciones "más") representa la simetría del espacio-tiempo en la mecánica cuántica no relativista, deja sin cambios el orden cronológico en el operador S. Al contrario del grupo de Galilei, el grupo de Poincaré cambia el orden cronológico por intervalos similares al espacio. Esta última es la razón de fondo por la que requerimos$(2)$...

El principio de exclusión de Pauli se puede derivar de la teoría cuántica relativista de campos. Aunque el principio de exclusión de Pauli sigue siendo importante en la aproximación no relativista, la razón de ello está profundamente arraigada en la QFT relativista.

El teorema se llama teorema de la estadística de espín . Las entradas al teorema incluyen

• simetría de lorentz,

• Algo llamado la condición del espectro , que dice que la energía total debe tener un límite inferior finito.

El resultado es más fácil de obtener para el caso de partículas de espín-1/2 libres (que no interactúan). Esto se explica con más detalle en la respuesta de Name YYY. Aquí hay una versión de solo palabras que incluye un poco de contexto adicional. En QFT, las partículas son fenómenos que predice la teoría, en lugar de ingredientes utilizados para construir la teoría. La teoría se construye en términos de campos cuánticos , que se representan como operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert. Por ejemplo, todos los electrones (y antielectrones) son manifestaciones del campo electrónico , al igual que todos los fotones son manifestaciones del campo electromagnético. Para un campo de giro libre 1/2, la simetría de Lorentz requiere que la ecuación de movimiento sea linealen las derivadas de espacio y tiempo, en lugar de ser cuadrático como lo sería para un campo escalar o vectorial. Debido a esto, los operadores de campo necesitan conmutar entre sí en una separación similar al espacio (en lugar de conmutar entre sí como lo harían con un campo escalar o vectorial) para que el operador de energía tenga un espectro de energía con un límite inferior finito. Esta anticonmutatividad es el principio de exclusión de Pauli. Esta derivación, en el caso especial de un campo de giro libre 1/2, se incluye en muchos libros de texto de QFT, como la sección 3.5 en An Introduction to Quantum Field Theory de Peskin y Schroeder .

Para derivaciones generales :

• La referencia clásica es el libro de Streater y Wightman, PCT, Spin and Statistics, and All That (1980). Demuestran el teorema a partir de un sistema de axiomas para QFT relativistas llamados axiomas de Wightman . También prueban otro teorema general que suele llamarse teorema CPT (lo llamaron "PCT" en lugar de "CPT", lo mismo), que a menudo se presenta junto con el teorema de las estadísticas de espín porque comparten las mismas entradas.

• También se puede derivar de un sistema diferente de axiomas en el contexto de QFT algebraica . El teorema relevante en este caso se llama teorema de reconstrucción de Doplicher-Roberts , que en realidad prueba mucho más: ayuda a explicar por qué los operadores de campo son útiles en primer lugar, además de explicar el principio de exclusión de Pauli. Este teorema se revisa en la página 92 ​​en "Teoría algebraica cuántica de campos", https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036 .

A partir de mi investigación, la respuesta corta a su pregunta es que a Pauli se le ocurrió el principio para explicar más sobre lo que estaba sucediendo dentro de un átomo, pero él mismo no pudo explicar de dónde viene. El principio de exclusión de Pauli no tiene derivación. Mientras Wolfgang Pauli estaba tratando de responder la gran pregunta cuántica en ese momento, ¿por qué no todos los electrones pasan al estado de energía más bajo? Había llegado al principio de exclusión de Pauli. En ese momento, muchos físicos estaban confundidos por esto porque no tenían idea de dónde venía ni por qué existía en primer lugar. De hecho, el propio Pauli estaba preocupado porque no podía explicar su propio principio a partir de la lógica y no podía derivarlo de ninguna ecuación cuántica. Este es un tema común dentro de la física cuántica,

Mi fuente: https://www.aps.org/publications/apsnews/200701/history.cfm

Los fermiones se describen mediante funciones de onda antisimétricas.

$$\Psi(x_{1},x_{2})=-\Psi(x_{2},x_{1})\tag{1}$$ Definimos: $$\Psi(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\Psi_{1}(x_{1})\Psi_{2}(x_{2})-\Psi_{1}(x_{2})\Psi_{2}(x_{1})\right]\tag{2}$$ Usando esta definición podemos ver que: $$\Psi(x_{2},x_{1})=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\Psi_{1}(x_{2})\Psi_{2}(x_{1})-\Psi_{1}(x_{1})\Psi_{2}(x_{2})\right]\tag{3}$$ Entonces la ecuación (1) se cumple. Podemos escribir la ecuación (2) como un determinante: $$\Psi(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{vmatrix} \Psi_{1}(x_{1}) & \Psi_{2}(x_{1})\\ \Psi_{1}(x_{2}) & \Psi_{2}(x_{2}) \end{vmatrix}$$ Podemos escribir este determinante para cualquier número de fermiones: $$\Psi(x_{1},x_{2},\dots,x_{N})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\begin{vmatrix} \Psi_{1}(x_{1}) & \Psi_{2}(x_{1}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{1})\\ \Psi_{1}(x_{2}) & \Psi_{2}(x_{2}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{2})\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \Psi_{1}(x_{N}) & \Psi_{2}(x_{N}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{N})\\ \end{vmatrix}$$ Esto se conoce como determinante de Slater. Puedes ver que si dos o más fermiones comparten el mismo estado cuántico, el determinante es cero.

En el centro de todo eso se encuentra el llamado "Teorema de la estadística del giro", que dice que las partículas con un giro entero, también conocido como. bosones, deben seguir Bose-Statistics y partículas con espín medio entero, también conocido como. fermiones, siga Fermi-Statistics, que incluye el principio de exclusión de Pauli. Ese teorema se deriva de declaraciones muy generales como la invariancia de Lorenz, la localidad, la unitaridad, la norma positiva, la energía finita, ... Para hacer todo eso un poco más matemático, considere la llamada "construcción del estado de Fock", que es parte del estándar Cursos QFT. Uno comienza con un solo estado de vacío,$|0>$, y actúa sobre él con operadores de creación.$a'_p$(debería ser el adjunto de a, pero realmente no sé cómo escribir eso aquí). Para bosones, los operadores$a'_p$conmutan, mientras que para los fermiones, a menudo se les llama$c'_p$y hacer anticonmutación, por lo que$c'_kc'_p=-c'_pc'_k$. Esto se debe a que, de lo contrario, habría estados de energía negativa, etc., y la teoría no funcionaría. Lo que hacen es crear una partícula con momento p o k, pero también pueden contener otra información sobre el estado. Entonces, un estado de un bosón con cantidad de movimiento p es

$$a'_p|0>$$ y un estado de dos bosones donde ambos bosones tienen un momento p es proporcional a $$a'_pa'_p|0>$$ Ahora bien, ¿qué sucede si queremos crear dos fermiones en el mismo estado? Eso sería $$c'_kc'_k|0>=-c'_kc'_k|0>=0$$ porque los operadores de creación anticonmutan. Esa es una prueba simple (aunque admitiblemente no muy general) del principio de exclusión de Pauli.