Construcción de estado singlete en segundo formalismo de cuantización

Estoy tratando de entender el segundo formalismo de cuantización. Digamos que tenemos un sistema de fermiones (por ejemplo, electrones) con espín en una matriz de puntos cuánticos. Los operadores de creación y aniquilación C i σ † y C i σ , dónde i y σ indican el índice del punto y el espín respectivamente, obedecen las reglas cacónicas de conmutación de fermiones.

C i α † C j β + C j β C i α † = d i , j d α , β , C i α † C i α † = 0 , C i α † C j β † = − C j β † C i α †

Buscaré en el caso de solo 2 fermiones, i = 1 , 2 y σ = ↑ , ↓ . Entonces, ambos puntos contienen 1 fermión (1,1) o cualquiera de los puntos contiene 2 fermiones (0,2) y (2,0).

Entonces, por ejemplo, en la configuración (1,1) puedo crear un estado de dos fermiones giratorios o uno giratorio hacia arriba y otro hacia abajo: C 1 ↑ † C 2 ↑ † | 0 , 0 ⟩ = | ↑ , ↑ ⟩ , C 1 ↑ † C 2 ↓ † | 0 , 0 ⟩ = | ↑ , ↓ ⟩ .

Mi pregunta ahora es, ¿cómo se representa el estado singlete S en este formalismo de operador de escalera?

S = 1 2 | 0 , ↑↓ − ↓↑ ⟩  o  1 2 | ↑↓ − ↓↑ , 0 ⟩

Mi primera conjetura es algo como: C 2 ↑ † C 2 ↓ † | 0 , 0 ⟩ Pero esto obviamente debería resultar en C 2 ↑ † C 2 ↓ † | 0 , 0 ⟩ = | 0 , ↑↓ ⟩

Tal vez una formulación más general de mi pregunta sea: ¿cómo se representan los estados de superposición en el segundo formalismo de cuantización?

¿Está su singlete “ubicado” solo en el sitio 2?
Sí, ambos giros están en el sitio 2 o en el sitio 1, por lo que las configuraciones (0,2) o (2,0)

Respuestas (1)

Su conjetura es realmente correcta. La representación del número de ocupación que utiliza no es simplemente el producto tensorial de los estados de un solo sitio. Ya está (anti-) simetrizado para bosones (fermiones). De hecho, si intercambias los dos fermiones, obtienes un signo negativo. Esto es porque

C 2 ↑ † C 2 ↓ † = − C 2 ↓ † C 2 ↑ †

Dado que los dos fermiones comparten la misma función de onda espacial, la parte de espín de la función de onda sería la parte antisimétrica y, por tanto, el singlete.

También puede intentar ver la segunda versión cuantificada de los operadores de giro del sitio 2 (omitiendo el índice del sitio)

S X = 1 2 ( C ↑ † C ↓ + C ↓ † C ↑ )

S y = 1 2 i ( C ↑ † C ↓ − C ↓ † C ↑ )

S z = 1 2 ( C ↑ † C ↑ − C ↓ † C ↓ )

y comprobar los valores propios de S 2 = S X 2 + S y 2 + S z 2 y S z .

Entonces, ¿cómo se distingue entre el triplete y el singlete? ¿Cómo se construye el siguiente estado? T = 1 2 = | 0 , ↑↓ + ↓↑ ⟩
@PhysicsMan No estoy seguro de lo que está preguntando. No puede obtener el estado de triplete para dos fermiones en el mismo sitio.
¿Por qué no es posible obtener el estado triplete de dos fermiones en el mismo sitio? Si su función de onda espacial es antisimétrica, esto debería ser posible, ¿verdad?
@PhysicsMan Porque no puede obtener una combinación antisimétrica de la misma función de onda de una sola partícula. La parte espacial debe ser ψ 2 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ) .
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