¿Cómo tiene en cuenta la red recíproca la base de una estructura cristalina?

Estoy leyendo sobre física del estado sólido y creo que entendí bien el concepto de red cristalina. Primero definimos una red de Bravais como el conjunto de vectores generados por { a → 1 , a → 2 , a → 3 } sobre los enteros, es decir, vector de la forma

R = norte 1 a → 1 + norte 2 a → 2 + norte 3 a → 3
Ahora, necesitamos definir los átomos que constituyen la red cristalina. Podemos disponer un punto en el Bravais para que sea el origen y tomar la celda mínima y definir algunos puntos dentro, es decir
r = X 1 a → 1 + X 2 a → 2 + X 3 a → 3 ; X i ∈ [ 0 , 1 ]  para  i ∈ { 1 , 2 , 3 }
Dada una Red de Bravais y una base, llamamos red cristalina a toda la estructura. Ahora definimos aún más un espacio recíproco, que es como un dual escalado de alguna manera tal que es la red extendida sobre los enteros de { b → 1 , b → 2 , b → 3 } tal que
⟨ b i , a j ⟩ = 2 π d i j
Entonces, se dice que la difracción de rayos X es una especie de mapa de la red recíproca y, por lo tanto, de la red cristalina, pero la base nunca se toma en cuenta para la construcción de la red recíproca. ¿Cómo podemos conocer la estructura (la red cristalina completa). Un gran problema que veo en esto es que podemos tener la misma red cristalina descrita por dos redes Bravais diferentes (y por supuesto dos bases diferentes). ¿Cómo funciona esto? ¿Hay algo que no estoy entendiendo?

Respuestas (3)

Su comprensión de que la red recíproca solo se define para una red de Bravais es correcta. Cuando tiene una red denominada con una base , calcularía los vectores primitivos de la red recíproca utilizando solo los vectores primitivos de la red de Bravais subyacente como:

b 1 = 2 π a 2 × a 3 a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) b 2 = 2 π a 3 × a 1 a 2 ⋅ ( a 3 × a 1 ) b 3 = 2 π a 1 × a 2 a 3 ⋅ ( a 1 × a 2 )

De hecho, esto no tiene en cuenta el efecto de la base. Eso, sin embargo, juega un papel en los experimentos de difracción de rayos X y afecta qué picos se miden realmente. La intensidad resultante está determinada por cómo interfieren las ondas difractadas de cada uno de los átomos constituyentes de la base. Por ejemplo, considere la red cúbica centrada en el cuerpo como una red cúbica simple con una base en ( 0 , 0 ) y ( a 2 , a 2 , a 2 ) . Es posible que en algunos ángulos incidentes, las ondas difractadas de estos dos átomos interfieran destructivamente y no vea un pico de intensidad aunque lo esperaría de una red recíproca cúbica simple. Esto se tiene en cuenta por el factor de estructura geométrica. F h k yo , definido como:

F h k ℓ = ∑ j = 1 norte F j mi [ − 2 π i ( h X j + k y j + ℓ z j ) ]

dónde ( h k yo ) indica el plano de dispersión, el índice j se suma sobre cada átomo en la base con coordenadas ( X j , y j , z j ) y factor de dispersión F j . Esta suma puede ser cero para ciertos valores de h , k , yo y en tales casos, no se ve ningún pico de difracción aunque se espera de la estructura de red recíproca de la red de Bravais subyacente.

(He ignorado que BCC es en sí mismo una red de Bravais, para el propósito de este ejemplo. Por supuesto, podría calcular los vectores primitivos de la red recíproca BCC usando vectores primitivos BCC y obtendría la red recíproca correcta. Las intensidades máximas de XRD así determinado será más preciso, pero los cálculos simples del factor de estructura para SC con una base al menos le dirán qué picos no se observarán en absoluto).

El capítulo 6 del libro Solid State Physics de Ashcroft y Mermin es una buena referencia para la difracción de rayos X y el concepto de factor de estructura en particular.

La celosía recíproca definitivamente tiene en cuenta la base de la celosía de Bravais. Tomemos por ejemplo una red tridimensional con base { a → 1 , a → 2 , a → 3 } . La base recíproca es entonces

base

Que claramente depende de los vectores base.

Todo retículo tiene un retículo recíproco. En cierto modo, la red recíproca es como la transformada de Fourier de la base. Para un conjunto específico de funciones de base de Fourier (en este caso, la serie exponencial), es único.

En respuesta al comentario:

Hubo una aclaración, la palabra "base" en la pregunta se refiere a la estructura del cristal mismo en términos de los átomos dentro del cristal.

Esto se tiene en cuenta cuando realmente intenta calcular, por ejemplo, la difracción de rayos X y demás. Hay un término llamado factor de estructura que hace uso de la posición específica de los átomos dentro de su red. El "mapa" de la red recíproca que obtendría entonces también depende de la posición de los átomos dentro de las celdas de la red.

Por ejemplo. si tiene una red cúbica simple, también puede tener átomos en el centro de la celda, en posiciones de base fraccionaria. Estos se tienen en cuenta cuando intenta determinar los ángulos de dispersión, por ejemplo.

Sin embargo, esto se convierte en una pregunta mucho más general y es mucho más complicada. Un recurso que utilicé cuando estaba estudiando esto fue el libro de texto de Física del Estado Sólido de Kittel, Capítulo 2, página 41 en la octava edición, si desea consultar.

No me refiero a base en ese sentido. Me refiero a la base de la estructura cristalina, como en los átomos que están dentro de la célula.
Gracias por la aclaración, edité mi respuesta ya que la respuesta es bastante larga.

La red recíproca simplemente no tiene en cuenta la base de una estructura cristalina.

La red es una matriz de puntos geométricos en el espacio, mientras que la estructura es la convolución de la red con una base (constituida por uno o más átomos). Entonces, la red no es un objeto real, la estructura cristalina es un objeto real (idealmente) que puede analizar con un difractómetro.

Lo que analizas por difracción es la estructura cristalina, no puramente la red.

Una celda unitaria de celosía en el espacio recíproco corresponde a una zona de Brillouin.

¿Cómo tiene en cuenta la red recíproca la base de una estructura cristalina?
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